Konvergenz von Summe(1-e^1/n)

09.01.2013, 22:39	gr0ode	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Summe(1-e^1/n) Meine Frage: Also ich habe Probleme die Konvergenz folgender Reihe festzustellen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (1-e^{1/n}) \end{eqnarray}$ ein weiteres Beispiel der Art wäre die Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (1/e^{1/n}-1) \end{eqnarray}$ Ich habe beide Folgen mit Wolfram berechnet, das Ergebnis: Beide divergieren und man kann es mit Minorantenkriterium zeigen. Ich bezeichne mal unsere Folge mit an: D.h. Ich muss eine Folge bn finden die >0 und <an ab gewissem Index erfüllt und divergiert Meine Ideen: Meine Ansätze haben zu nichts geführt das Problem ist dass ich einfach keine Minorante finde die die Bedingungen erfüllt, ich habe es mit Grenzwertkriterium versucht will sagen ich habe mir für Beispiel 1 die Folge -e^{1/n}:=bn angeschaut, die logischerweise divergiert da keine Nullfolge und lim (n->inf) an/bn berechnet das ist aber Null also hat das Grenzwertkriterium keine Aussagekraft, Quotienten und Wurzelkriterium führen auch nicht weiter ...
09.01.2013, 23:59	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagt dir die Ungleichung vom arithmetisch geometrischen Mittel etwas? Versuche sie mal auf e^(1/k) = (e1...*1)^(1/n) anzuwenden (n-1) Einsen.
10.01.2013, 00:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Guppi12 Geht das in die richtige Richtung? @ gr0ode Die Glieder der ersten Reihe sind alle negativ. An Konvergenz oder Divergenz ändert sich durch die Änderung der Vorzeichen nichts. Man kann also auch $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \operatorname{e}^{\frac{1}{n}} - 1 \right) \end{eqnarray}$ betrachten. Und hier kommt man mit der bekannten Abschätzung $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^x \geq x + 1 \end{eqnarray}$ ans Ziel (Tangente an den Graphen der Exponentialfunktion bei $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ betrachten). Setze $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ein.
10.01.2013, 00:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das geht nicht in die richtige Richtung. Tut mir Leid, ich hatte leider die Negativität der summierten Folge übersehen. Somit bekommt man leider nur eine Abschätzung in die falsche Richtung. Danke für die Richtigstellung
10.01.2013, 00:51	gr0ode	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: @Guppi12 Das arithmetisch geometrischen Mittel kannte ich nicht ich habe es schnell auf Wiki nachgelesen worauf du mit der Ungleichung hinaus willst ist mir noch nicht ganz klar @Leopold Dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin Facepalm, danke jedenfalls 2) kann man auch so ähnlich umschreiben also zu $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1-e^{1/n}}{e^{1/n}} )<br /> \end{eqnarray}$ Dann dachte ich ich berechne $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } an/bn \end{eqnarray}$ Wobei bn die Folge aus 1) ist und an die aus 2) da wir wissen dass bn divergiert und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } 1/e^{1/n}=1 \end{eqnarray}$ und somit eine Konstante ungleich Null ist divergiert auch an nach Grenzwert/Vergleichskriterium. Müsste so stimmen oder?
10.01.2013, 01:08	gr0ode	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Eine kurze Frage noch ich lerne das gerade und deshalb müsst ihr mir die vielleicht etwas dumme Frage verzeihen also bei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (e^{1/n}-1) \end{eqnarray}$ kann ich ja nicht einfach umschreiben zu $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (e^{1/n})-n \end{eqnarray}$ , da das eine Umordnung der Reihe ist und das bei unendlichen Reihen nur erlaubt ist wenn sie absolut konvergieren weil man sie sonst auf beliebigen Grenzwert steuern kann oder? Und sorry wegen den k's im Index vorhin ist mir jetzt erst aufgefallen :p
Anzeige

10.01.2013, 01:12	gr0ode	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re: Sorry verschrieben also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (e^{1/k}-1)= \sum\limits_{k=1}^n (e^{1/k})-n \end{eqnarray}$ gilt nicht im Grenzwert n->∞ oder?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »