Stetigkeit

10.01.2013, 00:00

amaik

Stetigkeit

Hallo allerseits,

Also meine Aufgabe lautet :

Sei f eine auf ganz R definierte Funktion, welche in 0 stetig ist und für alle x aus R die Bedingung f(2x)= f(x) erfüllt. Beweisen Sie , dass f konstant auf ganz R sein muss.

Mein Ansatz dazu:

Also mein weiß ja das $\begin{eqnarray*} f(x) =f(2x) \end{eqnarray*}$ Dann kann ich x' = 2x setzen und 2x'' = x usw. woraus folgt:

$\begin{eqnarray*} f (\frac {x}{2^n} ) = f ( 2^n*x) \forall {n} \in {N} \end{eqnarray*}$
Wenn ich mich nicht irre.
Weiterhin hab ich ja dann die Nullfolge $\begin{eqnarray*} (\frac {x} {2^n} )_{n} \end{eqnarray*}$
Da ich weiß das die Funktion in Null stetig ist weiß ich also auch das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}f (\frac {x} {2^n} ) = f(0) \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Annahmen bis hierhin, und wenn ja. Kann ich dann daraus schon folgen das $\begin{eqnarray*} f (\frac {x} {2^n} )= f(0) \end{eqnarray*}$ sein muss $\begin{eqnarray*} \forall x \in R \end{eqnarray*}$ und somit alle Funktionswerte gleich sein müssen, und die Funktion damit auf R konstant ist?
Toll wenn mir jemand hilft, danke.

10.01.2013, 12:52

amaik

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Stetigkeit, konstante auf R

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f (\frac {x}{2^n} ) = f ( 2^n*x) \forall {n} \in {N} \end{eqnarray*}$

Also hierfür ist wohl doch : $\begin{eqnarray*} f (\frac {x}{2*n} ) = f ( 2*n*x) \forall {n} \in {N} \end{eqnarray*}$
richtiger, ansonsten bin ich aber nicht weiter.

10.01.2013, 15:02

RavenOnJ

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Jetzt nimm mal an, es sei $\begin{align*} f(y)\ne f(0) \end{align*}$ . Daraus lässt sich ein Widerspruch zur Stetigkeit von $\begin{align*} f(0) \end{align*}$ ableiten. Sei nämlich $\begin{align*} |f(y)-f(0)| = \epsilon \end{align*}$ . Dann muss es zu $\begin{align*} \epsilon/2 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ geben, sodass

$\begin{align*} \forall x\small\text{ mit } |x| < \delta : |f(x)-f(0)|<\epsilon/2 \end{align*}$

Dies kann aber nicht sein, da es immer ein $\begin{align*} n\in \mathbb N \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} |y/2^n| <\delta \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} |f(y/2^n)-f(0)| = |f(y)-f(0)| =\epsilon >\epsilon/2 \end{align*}$ .

10.01.2013, 15:50

amaik

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Ok,vielen Dank das leuchtet ein. Und ist im Prinzip doch schon der Abschluss des Beweises, da dies $\begin{eqnarray*} \forall y \in R \end{eqnarray*}$ gilt und somit alle Funktionswerte gleich, und die Funktion somit konstant sein müssen?

10.01.2013, 15:54

RavenOnJ

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exakt. $\begin{align*} |f(y)-f(0)| >0 \end{align*}$ führt auf einen Widerspruch. Also folgt daraus, dass $\begin{align*} f(y)-f(0) =0,\forall y \in \mathbb R \end{align*}$

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