Zahlentheorie Berechne Primitivwurzeln von 17, nicht erwartete Anzahl von Primitivwurzeln erhalten

09.01.2013, 23:16	Very	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Berechne Primitivwurzeln von 17, nicht erwartete Anzahl von Primitivwurzeln erhalten Hallo, ich möchte die Primitivwurzeln von 17 berechnen. Mein Problem liegt darin, dass ich nicht die erwartete Anzahl an Primitivwurzeln erhalte. Hier einmal meine Rechnung: Da p=17 eine Primzahl ist, muss gelten, dass es $\begin{eqnarray} \varphi(p-1)=\varphi(16)=8 \end{eqnarray}$ viele Primitivwurzeln gibt. Die Teiler von 16 sind 2,4,und 8, also betrachte ich einmal 2 und hoffe eine Primitivwurzel zu finden. Da $\begin{eqnarray} 2^x\equiv 1 (mod 17) \end{eqnarray}$ zum ersten Mal für x=8 der Fall ist, ist 2 eine Primitivwurzel. Die anderen Primitivwurzeln finde ich über den Satz $\begin{eqnarray} x^a \text{ ist Primitivwurzel } \Leftrightarrow ggt(a,p-1)=1 \end{eqnarray}$ . Also ist a=3,5,7,9,11,15 möglich. Ich berechne jeweils 2 hoch a, erhalte aber nur 4 verschiedene Ergebnisse: 2,8,15,9. Ist das möglich? Ich hatte doch oben direkt gezeigt, dass es 8 Primitivwurzeln geben muss... Würde mich sehr über Hilfe freuen. lg Very
10.01.2013, 00:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Berechne Primitivwurzeln von 17, nicht erwartete Anzahl von Primitivwurzeln erhalt Die Ordnung von 2 ist also 8. Wie kann das dann eine Primitivwurzel sein?
10.01.2013, 00:27	Very	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, ich habs gerade auch gesehen... 2 ist keine Primitivwurzel, weil 2 nicht Ordnung 16 hat. ich habe jetzt 3 als Primitivwurzel getestet und die Ordnung von 3 ist 16. Damit ist 3 eine Primitivwurzel. (Ich habe nur 3 hoch 2,4,8 getestet, weil nach dem Satz von Lagrange gilt, dass wenn ein Element nicht eine dieser Ordnungen hat, es Ordnung 16 haben muss.) Ich habe also eine PW gefunden. Die anderen erhalte ich über $\begin{eqnarray} 3^3=10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^5=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^7=11 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^9=14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^{11}=7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^{13}=12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^{15}=6 \end{eqnarray}$ Ich habe also die Primitivwurzeln 3,5,6,7,10,11,12,14 gefunden. Das sind 8 Stück - das könnte also passen Habe ich diese jetzt richtig berechnet? Jetzt noch eine Frage zur Suche der ersten Primitivwurzel. Gibt es da ein bestimmtes Vorgehen? ich habe jetzt einfach bei 2 angefangen, hätte dann bei 3,4,5,6,7,... weitergemacht. Ist das richtig so? Oder gibt es ein geschickteres Vorgehen?
10.01.2013, 00:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus Zur geschickten Suche kann ich leider nichts sagen, da habe ich keine Ahnung.
10.01.2013, 00:53	Very	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke erstmal fürs Helfen. Vielleicht weiß ja jemand anderes was zur geschickten Suche? Würde mich freuen

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