Grad der Körpererweiterung bestimmen

10.01.2013, 00:23

Kiwiatmb

Grad der Körpererweiterung bestimmen

Ich soll $\begin{eqnarray*} \left[ \mathbb{Q}\left[\sqrt{2+\sqrt{2}}\right] : \mathbb{Q}\right] \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Da mir bezüglich Minimalpolynom bisher kein Geistesblitz gekommen ist, habe ich mich mal auf Basissuche begeben. Strategie sieht so aus, dass ich das adjungierte Element einfach potenziere und mir die Basiselemente rauspicke, bis sie sich ab einer bestimmten Potenz wiederholen und sich alle folgenden als Linearkombination darstellen lassen. (Eine erste große Frage bereits hier: Warum funktioniert das? Und eng damit verbunden: Warum muss sich das ganze ab einer bestimmten Potenz wiederholen? Ich fürchte, dies ist einer der wesentlichen Probleme, da ich gar nicht genau weiß, welche Zahlen dann genau Basiselemente sind - ich probier's unten einfach mal.)

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }a=\sqrt{2+\sqrt{2}}\text{ und } \omega_i, i=1,2,...\text{ Basiselement. Die ersten beiden sollten klar sein denke ich: }\omega_1=a^0=1 \text{ und }\omega_2=\sqrt{2+\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2=2+\sqrt{2}=2\omega_1+\sqrt{2}\Rightarrow \omega_3=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2+\sqrt{2}})=2\sqrt{2+\sqrt{2}}+\sqrt{2(2+\sqrt{2})}=2\omega_2+\sqrt{2(2+\sqrt{2})}\Rightarrow \omega_4=\sqrt{2(2+\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^4=(2+\sqrt{2})^2=4+4\sqrt{2}+2=6+4\sqrt{2}=6\omega_1+4\omega_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^5=...=6\omega_2+4\omega_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{ Gesuchter Grad ist } 4 \text{ mit Basis } \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\} \end{eqnarray*}$ ?

Stimmt das nun? Sieht plausibel aus.

Vielen Dank schonmal!

Grüße,
~

10.01.2013, 13:45

tmo

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Erstmal zu deinen Fragen:

Das funktioniert weil die Körperweiterung endlich ist. Daher sind die Potenzen irgendwann mal linear abhängig.

Dann zu deiner Basis. Die stimmt (Wie man mit etwas Erfahrung ohne Nachrechnen sieht).

Mit der Gradformel geht man übrigens etwas leichter an die Sache ran.

Dann reduziert sich die Aufgabe im Wesentlichen auf das Zeigen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2}} \notin \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ um zu sehen, dass der Grad 4 ist.

10.01.2013, 18:22

Kiwiatmb

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Dann präzisiere ich das vielleicht mal: Woher weiß ich, wann ich aufhören muss zu suchen? Sobald ich das erste mal eine Potenz komplett als Linearkombination der bisherigen dargestellt habe? Warum?

An die Gradformel habe ich natürlich auch gedacht, aber was nehme ich als Zwischenkörper? Du deutest ja an, dass das mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) \end{eqnarray*}$ klappt, aber dass dies ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\left[\sqrt{2+\sqrt{2}}\right] \end{eqnarray*}$ sein soll, leuchtet mir jetzt spontan nicht ein...

Danke soweit!

10.01.2013, 19:11

jester.

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Dazu genügt es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$ , und das kann man leicht nachrechnen.

11.01.2013, 19:16

tmo

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Zitat:

Original von Kiwiatmb
Sobald ich das erste mal eine Potenz komplett als Linearkombination der bisherigen dargestellt habe? Warum?

Ist a primtives Element einer Körpererweiterung und n der Grad der Erweiterung, so ist ja durch $\begin{eqnarray*} 1,a, \dotsc, a^{n-1} \end{eqnarray*}$ eine Basis gegeben. Ab $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ lässt sich dann jede Potenz als Linearkombination darstellen.

D.h. in der Tat musste du nur solange suchen, bis sich eine Potenz erstmal als Nullstellen darstellen lässt.

Dass du nicht die Potenzen selbst als Basiselemente nimmst, sondern nur die Summanden, die du "noch nicht hattest", ist kein Problem. Stichwort: Steinitzscher (?) Basisaustauschsatz aus der Linearen Algebra.

Aber wie schon gesagt: Meist versucht man irgendwie elleganter an die Sache ranzugehen. Das mit dem fortlaufenden Potenzieren kann schnell aufwändig werden.

Hat man einen Zwischenkörper E mit $\begin{eqnarray*} K \subset E \subset L \end{eqnarray*}$ gefunden, so erhält man ja eine Basis, indem man die Basiselemente von $\begin{eqnarray*} E/K \end{eqnarray*}$ paarweise mit denen von $\begin{eqnarray*} L/E \end{eqnarray*}$ multipliziert.

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