Kern einer dualen Abbildung

10.01.2013, 10:55	prri	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern einer dualen Abbildung Meine Frage: Hallo, ich möchte den Kern der dualen Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha^ \end{eqnarray}$ bilden, wobei $\begin{eqnarray} \alpha \colon \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha(x,y):=(x+y,x-y,x) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Da $\begin{eqnarray} 2=\operatorname{Rg}(\alpha)=\operatorname{Rg}(\alpha^)=\dim \left( \left({\mathbb{R}^3} \right)^* \right) - \operatorname{Def}(\alpha^) \end{eqnarray}$ , ist der Kern eindimensional. Des Weiteren gilt für ein $\begin{eqnarray} f \in \operatorname{Ker}(\alpha^) \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} 0=(\alpha^f)(x,y)=f(\alpha(x,y))=f(x+y,x-y,x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y,z \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Jetzt sieht man leicht, dass $\begin{eqnarray} f(a,b,c):=c-\frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ dies erfüllt und dieses $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Basis vom Kern bildet. Mein Problem ist jetzt bloß: Wie kommt man konstruktiv auf dieses $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Ich krieg das irgendwie nicht hin. Oder kann man das nur lösen, indem man irgendwie probiert? Vielen Dank schon malö für eure Bemühungen.
10.01.2013, 17:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern einer dualen Abbildung Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein lineares Funktional sein soll, muss $\begin{eqnarray} f(a,b,c)=\alpha a+\beta b+\gamma c \end{eqnarray}$ sein. Dann die entsprechenden Werte einsetzen und die Koeffizienten vor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit Null gleichsetzen.
16.01.2013, 19:31	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
mich würde auch interessieren, wie diese aufgabe nun gelöst wird setzt man jetzt die werte ein in $\begin{eqnarray} <br /> f(a,b,c)= \alpha a + \beta b + \gamma c<br /> <br /> \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} <br /> <br /> f(x+y,x-y,x)= \alpha(x+y) +\beta (x-y)+ \gamma x = (\alpha + \beta + \gamma) x + (\alpha - \beta) y=0<br /> <br /> \end{eqnarray}$ und setzt die koeffizienten null , dann habe ich $\begin{eqnarray} <br /> \alpha + \beta + \gamma=0<br /> \alpha - \beta=0 \end{eqnarray}$ Was fehlt jetzt noch zur basis des kerns der dualen abbildung?? Danke schonmal
16.01.2013, 19:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur noch das Gleichungssystem lösen.
16.01.2013, 19:51	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab $\begin{eqnarray} <br /> t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, t\in K<br /> \end{eqnarray}$ der vektor ist die gesuchte basis?
16.01.2013, 20:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau.
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