Bruchrechenregeln

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10.01.2013, 11:28	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchrechenregeln Es geht um die Regeln der Bruchrechnung (Harro Heuser S.40): $\begin{eqnarray} \frac a b + \frac c d = \frac {ad+bc} {bd} \end{eqnarray}$ das gleiche für Minus ich habe leider keine Idee wie ich das beweisen kann. mfg
10.01.2013, 11:33	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt jeden der beiden Brüche "geschickt" erweitern...
10.01.2013, 11:39	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man das vielleicht aus diesem Satz folgern: falls a ungleich null ist, besitzt die Gleichung ax = b genau eine Lösung in K, nämlich x := b / a ?
10.01.2013, 11:50	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie habe ich die Befürchtung, daß es hier nicht um einfache rationale Zahlen geht, also mit a, b, c, d als ganzen Zahlen... Falls doch, dann schreibe doch einfach (etwas ausführlicher als normalerweise) auf, wie du die Aufgabe a/b + c/d rechnen würdest...
10.01.2013, 12:02	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac {ad+bc} {bd} \end{eqnarray}$ ist doch die eindeutige Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} bd \cdot x = ad+bc \end{eqnarray}$ also muss $\begin{eqnarray} (\frac a b + \frac c d) \cdot (bd) \end{eqnarray}$ diese Gleichung doch auch erfüllen, wenn die beide Ausdrücke gleich sein sollen. $\begin{eqnarray} (\frac a b + \frac c d) \cdot (bd) = \frac a b \cdot bd + \frac c d \cdot bd = ad (b \cdot b^{-1}) + cb (d \cdot d^{-1})= ad + cb \end{eqnarray}$
10.01.2013, 12:10	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also entweder denke ich zu einfach oder du zu kompliziert oder beides... $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot 1 + \frac{c}{d} \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{d}+ ...= \frac{ad}{bd} +...=...<br /> \end{eqnarray}$ Das "mal 1" kann man sich vielleicht noch sparen...
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10.01.2013, 12:19	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac a b \cdot\frac d d = \frac {ad} {bd} \end{eqnarray}$ darf ich glaube ich aber nicht anwenden, weil der Beweis $\begin{eqnarray} \frac a b \cdot \frac c d = \frac {ac} {bd} \end{eqnarray}$ später kommt
10.01.2013, 12:26	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hhmm, dann wird's schwierig...
10.01.2013, 13:51	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, a,b,c und d sind Elemente eines Körpers $\begin{align} K \end{align}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = e \in K\Rightarrow ebd = bd\Big(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\Big) = ad+bc\Rightarrow e = \frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray}$ Wie üblich, wird mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} := x^{-1} \end{eqnarray}$ das multiplikativ Inverse von x bezeichnet, das ja in einem Körper immer existiert, solange $\begin{eqnarray} x\ne 0 \end{eqnarray}$ .
10.01.2013, 14:00	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke
10.01.2013, 14:01	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
man muss aber b ungleich null und d ungleich null voraussetzen ?
10.01.2013, 14:22	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
sicher, da sonst die Inversen $\begin{align} b^{-1} \end{align}$ und $\begin{align} d^{-1} \end{align}$ nicht existieren. Du hast noch nicht die Frage beantwortet, ob a,b,c und d Elemente eines Körpers sind oder nur eines Ringes. Bei einem Ring käme die weitere Einschränkung dazu, dass b und d zur Einheitengruppe des Rings gehören müssen.
10.01.2013, 14:54	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
ja a,b,c,d sind Elemente in einem Körper. Danke für die Hilfe mfg
10.01.2013, 17:13	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac {\frac a b}{\frac c d } = \frac {ad}{bc} \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \frac {\frac a b}{\frac c d } = e \in K \Rightarrow e \cdot \frac c d = \frac {\frac a b}{\frac c d } \cdot \frac c d = \frac a b \cdot (\frac c d)^{-1} \cdot \frac c d = \frac a b \Rightarrow \frac {\frac a b}{\frac c d } \cdot \frac c d = \frac a b \Rightarrow \frac {\frac a b}{\frac c d } \cdot \frac c d \cdot \frac d c = \frac a b \cdot\frac d c \Rightarrow \frac {\frac a b}{\frac c d } = \frac {ad}{bd} \end{eqnarray}$ Stimmt das? und kann man das geschickter lösen?
10.01.2013, 20:01	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man schon etwas geschickter machen (Multiplikation im Körper ist kommutativ): $\begin{eqnarray} 1 = \Big(\frac x y \Big)\cdot \Big(\frac x y \Big)^{-1} = x\cdot y^{-1}\cdot y \cdot x^{-1}\Rightarrow \Big(\frac x y\Big)^{-1} = y\cdot x^{-1} =: {\frac y x}\;\;\; () \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 = y\cdot x\cdot x^{-1}\cdot y^{-1} = (xy)\cdot (xy)^{-1} \Rightarrow x^{-1}\cdot y^{-1} = (xy)^{-1} \;\;\; (*) \end{eqnarray}$ Damit folgt: $\begin{eqnarray} \frac {\frac a b}{\frac c d } ={\frac a b}\cdot \Big(\frac c d \Big)^{-1} \stackrel{()}{=}{\frac a b}\cdot {\frac d c} = a\cdot b^{-1}\cdot d\cdot c^{-1} \stackrel{(*)}{=} a\cdot d\cdot (bc)^{-1} = \frac{ad}{bc} \end{eqnarray}$
10.01.2013, 20:19	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
nice danke

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