Doppelpost! Radon Transformation

10.01.2013, 12:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Radon Transformation Meine Frage: Die Radon Transformation ist definiert durch $\begin{eqnarray} R\colon L_2(\mathbb{R})\to L_2(\Omega\times\mathbb{R}), f\mapsto g(s,\omega)=\int\limits_{\mathbb{R}} f(s\omega+t\omega^{\bot})\, dt, \Omega=B(0,1) \end{eqnarray}$ . (i) Zeige, daß die Radontransformation eine gerade Funktion ist. (ii) Bestimme den adjungierten Operator. Meine Ideen: Hallo, hier meine Ideen, von denen ich gerne wüßte, ob sie ok sind: (i) $\begin{eqnarray} g(-s,-\omega)=\int\limits_{\mathbb{R}}f(-s(-\omega)+t(-\omega)^{\bot})\, dt=\int\limits_{\mathbb{R}}f(s\omega-t\omega^{\bot})\, dt \end{eqnarray}$ Die Variablentransformation $\begin{eqnarray} \tilde{t}=-t \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb{R}}f(s\omega-t\omega^{\bot})\, dt=\int\limits_{\mathbb{R}}f(s\omega+\tilde{t}\omega^{\bot})\, d\tilde{t}=g(s,\omega) \end{eqnarray}$ . (ii) Setze $\begin{eqnarray} Y:=\Omega\times\mathbb{R}, X:=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \langle Rf,g\rangle_Y=\int\limits_{\Omega}\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}}f(s\omega+t\omega^{\bot})g(s,\omega)\, dt\, d\omega\, ds \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\Omega}\int\limits_{\mathbb{R}}f(s\omega+t\omega^{\bot})g(s,\omega)\, dt\, ds\, d\omega \end{eqnarray}$ Es ist doch so, daß $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} x\notin\Omega\times\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ? Also mit $\begin{eqnarray} x=s\omega+t\omega^{\bot} \end{eqnarray}$ weiter mit: $\begin{eqnarray} =\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}^3}f(x)g(x\cdot\omega,\omega)\, dx\, d\omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_{\mathbb{R}^2}\int\limits_{\mathbb{R}^2}f(x)g(x\cdot\omega,\omega)\, dx\, d\omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_{\mathbb{R}^2}f(x)\int\limits_{\mathbb{R}^2}g(x\cdot\omega,\omega)\, d\omega\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\langle f,R^ g\rangle_X \end{eqnarray}$ , d.h. ich erhalte $\begin{eqnarray} (R^g)(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^2}g(x\cdot\omega,\omega)\, d\omega \end{eqnarray}$ . vG

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