recurrence relation

10.01.2013, 12:25

StephanG

recurrence relation

Meine Frage:
Hey,
ich möchte folgende Rekursionsformel beweisen:
$\begin{eqnarray*} E(X_n|X_0=i) = \sum\limits_{j=1}^N p_{ij} (r_{ij} + E(X_{n-1}|X_0=j) \end{eqnarray*}$
Stellt euch dazu einen Frosch vor, der auf N Blättern herumhüpft. Her hüpft von Blatt i auf j mit Wkt $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ . Er ist eine Markovkette. Springt er von i nach j bekommt er $\begin{eqnarray*} r_{ij} \end{eqnarray*}$ Geld.
$\begin{eqnarray*} E(X_n|X_0=i) \end{eqnarray*}$ ist die erwartete Auszahlung, wenn er n mal springt und auf Blatt i beginnt.

Meine Ideen:
Ich habe versucht, es mit der Chapman-Komogorov Gleichung zu lösen. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit den $\begin{eqnarray*} r_{ij} \end{eqnarray*}$ umgehen soll.
Außerdem habe ich versucht X als Markovkette aufzufassen. Ist aber keine.

Vielen Dank für Vorschläge

10.01.2013, 14:12

Math1986

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RE: recurrence relation

Zitat:

Original von StephanG
Meine Frage:
Hey,
ich möchte folgende Rekursionsformel beweisen:
$\begin{eqnarray*} E(X_n|X_0=i) = \sum\limits_{j=1}^N p_{ij} (r_{ij} + E(X_{n-1}|X_0=j) \end{eqnarray*}$
Stellt euch dazu einen Frosch vor, der auf N Blättern herumhüpft. Her hüpft von Blatt i auf j mit Wkt $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ . Er ist eine Markovkette. Springt er von i nach j bekommt er $\begin{eqnarray*} r_{ij} \end{eqnarray*}$ Geld.
$\begin{eqnarray*} E(X_n|X_0=i) \end{eqnarray*}$ ist die erwartete Auszahlung, wenn er n mal springt und auf Blatt i beginnt.

Das passt aber nicht mit der Festlegung zusammen, dass $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die Position des i-ten Plattes ist.

Formal müsstest du dir dazu eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} G_i \end{eqnarray*}$ definieren, die dir den Gewinn nach Runde i beschreibt.

15.01.2013, 12:14

Gusteau

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RE: recurrence relation
Vielen Dank für die gute Bemerkung, ich habe jetzt das Problem umgeschrieben in folgendes:
Sei Y eine Markovkette mit Realisierungen
$\begin{eqnarray*} Y_0=i_0,...,Y_n=i_n \end{eqnarray*}$

Dann definieren wir folgenden Prozess
$\begin{eqnarray*} X_n := r_{Y_0,Y_1} +\ldots+ r_{Y_{n-1},Y_n}, \quad n \in \mathbb{N}. \end{eqnarray*}$
mit Realisierungen
$\begin{eqnarray*} x_{n-1}+r_{i_{n-1},i_n}=:x_n \end{eqnarray*}$

Verstehe ich es richtig, dass dann gilt:
$\begin{eqnarray*} P(X_n=x_n) = P(Y_n=i_n) \end{eqnarray*}$

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