Unbekannter Richtungsvektor so bestimmten das Ebenen parallel

10.01.2013, 15:03

Mulgard

Unbekannter Richtungsvektor so bestimmten das Ebenen parallel

Meine Frage:
Hallo!

Betrachten Sie folgende Ebenen:

Ebene 1: e(r, s) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ebene 2: f(t, z) = b + t * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + z * r

Bestimmten Sie den unbekannten Richtungsvektor r so, dass die neue Ebene F zur ersten Ebene E parallel ist.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre, dass der Normalenvektor der Ebene F zum Normalenvektor der Ebene E linear abhängig und parallel sein muss. Der Normalenvektor wäre ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und ich müsste folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r1 \\ r2 \\ r3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meiner meinung nach funktioniert das allerdings nicht, denn ich bekomme dann folgende drei Gleichungen:

I 3r3 -3r2 = t
II 3r1 -0r3 = -3t
III 0r2 -2r1 = 2t

Somit wäre r1 = -t und ich kann r3 und r2 nicht berechnen

10.01.2013, 15:12

zyko

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RE: Unbekannter Richtungsvektor so bestimmten das Ebenen parallel
Die Gleichung
I 3r3 -3r2 = t
solltest du nochmals überprüfen.
Denke daran die Vektoren, die eine Ebene beschreiben, sind nicht eindeutig gegeben.

10.01.2013, 15:19

Mulgard

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RE: Unbekannter Richtungsvektor so bestimmten das Ebenen parallel

Zitat:

Original von zyko
Die Gleichung
I 3r3 -3r2 = t
solltest du nochmals überprüfen.

Ich denke die ist korrekt. Beim Kreuzprodukt rechnet man ja a2 * b3 - a3 * b2
a2 = 2, b3 = r3, a3 = 3 und b2 = r2

10.01.2013, 16:48

zyko

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RE: Unbekannter Richtungsvektor so bestimmten das Ebenen parallel

Zitat:

Original von Mulgard

I 3r3 -3r2 = t

Ich denke die ist korrekt. Beim Kreuzprodukt rechnet man ja a2 * b3 - a3 * b2
a2 = 2, b3 = r3, a3 = 3 und b2 = r2

Du schreibst a2 = 2, aber bei Gleichung I schreibst du dann 3r3... Wie soll das denn korrekt sein?

10.01.2013, 16:56

Mulgard

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Das es 2r3 ist ändert aber nichts dara, dass ich r2 und r3 nicht berechnen kann

10.01.2013, 17:22

Mulgard

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Und ich weiß auch nicht, ob mein Vorhaben überhaupt korrekt ist

10.01.2013, 20:13

Mulgard

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Was ist mit dem Ansatz, dass die beiden Richtungsvektoren mit dem Normalenvektor multipliziert (damit meine ich Skalarprodukt) 0 ergeben muss:

0 + 1 + 2 + (-3) + 3 * 2 = 0 => korrekt
0 * r1 + 2 * r2 + 3 * r3 = 0 => 2r2 + 3r3 = 0, kann ich aber auch net lösen.

11.01.2013, 13:04

zyko

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Du hast die drei Gleichungen
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ll}<br /> I &2r3 -3r2 = t <br /> II &3r1 -0r3 = -3t <br /> III &0r2 -2r1 = 2t<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$
Die Gleichungen II und III sind identisch und liefern dir r1.
Mit Gleichung I kannst du jetzt entweder r2 oder r3 beliebig wählen und anschließend r3 bzw. r2 aus I ausrechnen.
Denn im dreidimensionalen Raum gibt es unendlich viele Vektoren, die senkrecht auf der Flächennormalen stehen. Ein Flächenvektor ist bereits gegeben. Der zweite Flächenvektor muss dazu unabhängig sein ansonsten kann er beliebig innerhalb der Ebene gewählt werden.

Du kannst aber auch zusätzlich fordern, dass der neue 2. FlächenVektor orthogonal zum 1. FlächenVektor ist, mit dem Innen (Skalar) Produkt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}^T \circ\begin{pmatrix} r1 \\ r2 \\ r3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ .
Hiermit hast du eine weitere Gleichung, um die gesuchten Vektorkomponenten eindeutig zu bestimmen.

11.01.2013, 16:40

Mulgard

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Super genial, danke!

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