Verständnis stetige Zufallsgrößen

10.01.2013, 15:56	Stochastimfragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnis stetige Zufallsgrößen Meine Frage: Hallo zusammen habe mal eine allgemeine Verständnisfrage: Bei der Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen rechnet man da wenn P(x>=k)= 1-F(n;p;k-1) oder 1 - F(n;p;k) ?? Meine Ideen: Ich meine mich erinnern zu können, dass das anders ist als bei der Normalverteilung mit diskreten Zufallsgrößen, da hier ja die Stetigkeitskorrektur von +0,5 wegfällt..... Vielen Dank schonmal im Vorraus
10.01.2013, 16:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
"Normalverteilung mit diskreten Zufallsgrößen" ? Sowas gibt's gar nicht, die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung. Davon unbenommen bleibt, dass sie als approximative (!) Verteilung von diskreten, binomialverteilten Zufallsgrößen Verwendung findet, was aber auf einem völlig anderen Blatt steht und nicht miteinander vermengt werden sollte (was an den Schulen aber wohl leider so stattfindet). Für stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und alle reellen $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} P(X\geq t) = P(X>t) = 1-P(X\leq t) = 1-F_X(t) \end{eqnarray}$ . Für spezielle diskrete Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , die nur ganzzahlige Werte annehmen können, gilt für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ hingegen $\begin{eqnarray} P(X\geq k) = P(X>k-1) = 1-P(X\leq k-1) = 1-F_X(k-1) \end{eqnarray}$ . In beiden Fällen kennzeichnet $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ .
10.01.2013, 17:01	Stochastimfragen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay..... Ich habs verstanden. Dann müsste man doch um ganz genau zu sein auch bei stetigen Größen bei Verwendung der Normalverteilung ein "=" und bei diskreten Größen ein "Ungefährzeichen" verwenden, da hier ja approximiert wird oder? Sorry, dass ich da so genau nachfrage, aber ich schreibe morgen mein ABI ...
10.01.2013, 17:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat. Was ihr in der Schule anwendet, ist ja die Approximation $\begin{eqnarray} B(n,p)\approx \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray}$ . Wenn man also das diskrete $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ und das stetige $\begin{eqnarray} Y\sim \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray}$ betrachtet, dann gilt nicht $\begin{eqnarray} P(X\leq t) = P(Y\leq t) \end{eqnarray}$ , sondern allenfalls $\begin{eqnarray} P(X\leq t)\approx P(Y\leq t) \end{eqnarray}$ . Für ganze Zahlen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist die Approximation allerdings noch deutlich genauer, wenn man die sogenannte Stetigkeitskorrektur $\begin{eqnarray} P(X\leq k) = P(X\leq k+0.5) \approx P(Y\leq k+0.5) \end{eqnarray}$ verwendet, was dann insgesamt bedeutet $\begin{eqnarray} P(X\leq k) \approx P(Y\leq k+0.5) = F_Y(k+0.5) = \Phi\left( \frac{k+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) \end{eqnarray}$ .
10.01.2013, 17:21	Stochastimfragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Super.... Vielen Dank !

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