Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe

10.01.2013, 16:20	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe Meine Aufgabe: Auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ werde eine Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \phi (x):=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} M:=\{A \in \mathbb R^{n \times n}\| \phi(Ax) = \phi(x) \forall x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe ist. Meine Ideen: Gruppenaxiome sind zu prüfen: G1) Assoziativität G2) neutrales Element G3) inverses Element Habe nun versucht die Assoziativität zu prüfen, bin mir allerdings sehr unsicher, ob das so möglich ist: $\begin{eqnarray} (\phi(Ax) \cdot \phi(Bx)) \cdot \phi(Cx) = (\phi(A) \sqrt{x_1^2+...+x_n^2} \cdot \phi(B) \sqrt{x_1^2+...+x_n^2}) \cdot \phi(C) \sqrt{x_1^2+...+x_n^2} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\phi(AB) (x_1^2+...+x_n^2) \cdot \phi(C) \sqrt{x_1^2+...+x_n^2} = (\phi(ABC) (x_1^2+...+x_n^2)^\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Das gleiche eben noch für: $\begin{eqnarray} \phi(Ax) \cdot (\phi(Bx) \cdot \phi(Cx)) \end{eqnarray}$ , aber das spar ich mir erstmal...
10.01.2013, 17:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe Was soll denn so etwas wie $\begin{eqnarray} \phi(A) \end{eqnarray}$ sein? Und was machst du da überhaupt? Dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, sollte bekannt sein.
10.01.2013, 17:38	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe Ich bin im 1. Semester und habe noch kein Plan von dieser Aufgabe und ich habe eben etwas versucht, als zu schreiben: Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll. Dass das nicht korrekt ist, habe ich mir schon gedacht. Kann ich das etwas einfach voraussetzen?
10.01.2013, 18:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe Habt ihr denn schon bewiesen, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist? Davon gehe ich jedenfalls stark aus.
10.01.2013, 18:34	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe Nein, haben wir noch nicht, das soll ich denk ich mal an dieser Aufgabe üben. Wie man hier die Assoziativität prüft würde mich so oder so mal interessieren. Danke für deine Antworten bisher
10.01.2013, 18:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Matrizenmultiplikation Gruppe Bist du dir ganz sicher, dass ihr nie gezeigt habt, dass $\begin{eqnarray} (AB)C=A(BC) \end{eqnarray}$ für allgemeine Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ mit passenden Größen? – d.h. nicht speziell für die hier betrachtete Art von Matrizen, das ist ja nur ein Spezialfall. Ansonsten musst du wohl leider $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n} \end{eqnarray}$ etc. benutzen, $\begin{eqnarray} (A(BC))_{ij} \end{eqnarray}$ explizit aufschreiben und zeigen, dass der für alle $\begin{eqnarray} i,j=1,\dotsc,n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ((AB)C)_{ij} \end{eqnarray}$ übereinstimmt.
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