Basen und Linearkombintationen

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Klösp Auf diesen Beitrag antworten »
Basen und Linearkombintationen
Gegeben sind die Vektoren:






und




a)
Stellen Sie den Vektor x als Linearkombination der Vektoren a1, a2, a3, a4
dar. Geben Sie dabei s¨amtliche m¨ogliche L¨osungen f¨ur die Koeffizienten x1, x2, x3, x4 an.

b)
Beweisen Sie, dass die Mengen B1 = {a1, a2, a3} und B2 = {a2, a3, a4} Basen des R^3
sind.

c)
Wie lauten die Koordinatenvektoren von x bezueglich B1 und bezueglich B2?



zu a)

Normaler Weise würde ich daraus ein Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen.
Nur hab ich keine Ahnung wie ich bei 4Vektoren im R^3 vorgehen soll, da das Gleichungssystem ja überbestimmt wäre.


zu b)

würde es da reichen zu zeigen, dass die Basen jeweils linear unabhängig sind?

zu c)

da würde ich
b1*x und b2*x
rechnen, ist das richtig?


Danke im Vorraus
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a): Gleichungssystem aufstellen und lösen ist eine gute Idee! Du kennst vermutlich das Gauß-Verfahren, mit dem du dieses dann lösen kannst. Stelle doch erst mal überhaupt dein Gleichungssystem auf und bringe es dann in Matrixform.

Zu b): Naja, fast. Ohne das Wörtchen "jeweils" stimmt deine Aussage. Vielleicht ein kurzes Beispiel:
Sei . Hier sind die Vektoren jeweils linear unabhängig ( und lin. unab., lin. unab. und lin. unab.), aber das ist trotzdem keine Basis, da du zum Beispiel nicht durch eine Linearkombination der Vektoren darstellen kannst. (In der dritten Koordinate steht in allen Vektoren eine 0, da kann man so viel linear kombinieren wie man möchte, die wird da nicht zu einer 1 werden. Logisch, oder?) Dass dies nicht möglich ist, liegt daran, dass (zusammen) linear abhängig sind. Denn es gilt ja sind linear abhängig.
Ist das Beispiel verständlich? Wenn nicht, schau doch mal in deinem Skript wie die lineare Unabhängigkeit definiert ist. Falls dann noch Fragen sind, scheue dich nicht, diese zu stellen! smile

Vielleicht noch eine kurze Hilfe zur Begründung, warum deine Aussage (ohne "jeweils") stimmt: Du weißt hoffentlich, dass die verschiedenen Basen eines Vektorraums immer die gleiche Anzahl an Basisvektoren haben und diese linear unabhängig sein müssen.
Ebenso kennst du wahrscheinlich die Standardbasis des . Wie viele Vektoren enthält diese? Wie viele linear unabhängige Vektoren muss also jede andere Basis des enthalten?

Zu c): Nein das ist nicht richtig. Gesucht ist bspw. für B1 der Vektor sodass .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

a.) das System ist nicht überbestimmt sondern unterbestimmt.

b.) Wenn die Ränge der Vektor-Matrizen = 3 sind

c.) 2 LGS sind zu lösen. z.B

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Aufgabenteil c) ließe sich übrigens a) recht schnell lösen, wenn ich nichts übersehe.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe ohne Blick auf die realen Zahlen geantwortet.

Klar, man könnte auch b.) weglassen, da ja c.) Basen voraussetzt.
Würde ich aber in einer Klausur nicht machen, sondern schön brav a.)b.)c.) abarbeiten Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die b) würde ich nicht weglassen. Aber man kann aus den in c) gefundenen Linearkombinationen eine Konvexkombination basteln, die wieder ergibt.
 
 
Klösp Auf diesen Beitrag antworten »

Danke soweit:

erstmal zu b)


da hab ich






und dann sieht man, dass keine Nullzeile entsteht und der Rang =3 ist.

Für B2 hab ich das dann analog gelöst.


zu C)


da habe ich diese beiden GLS gelöst.





und bekomm dann für B1 und für B2


nun zu a)


Hier komm ich noch nicht weiter.

Hab auch einfach mal angefangen das GLS System zu lösen.









und da komm ich jetzt halt nicht mehr weiter.


Danke im Vorraus
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

b) und c) passen. Bei b) solltest du dir vielleicht (falls noch nicht geschehen) klar machen, warum dein Lösungsweg stimmt. Grund ist eben gerade, dass du gezeigt hast, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind (und Erzeugendensystem). (vgl. auch meine Bemerkung oben, falls sie hilft)
c) hätte man auch etwas einfacher "sehen" können, ohne Gauß-Verfahren, indem man sich das als Linearkombination hinschreibt, wie ich (und mein Nachposter) das oben geschrieben haben. Dann sieht man die Lösung recht schnell. Dein Weg ist zwar genauso richtig, allerdings vermute ich, dass du dafür doch ein wenig Zeit brauchst und in eventuellen Klausuren hat man meist wenig Zeit zu verschwenden.
Also falls dich das interessiert und noch nicht klar ist, frag hier einfach nochmal.

Zu a):

Die letzte Zeile deines letzten Schrittes bedeutet ja übersetzt:

Dann lässt sich was über x3 aussagen.

Zeile zwei lässt sich dann genauso übersetzen und du kannst das x3, was du gerade erhalten hast, einsetzen und bekommst was für x2 raus.

Für Zeile eins erhältst du dann keine eindeutige Lösung, sondern - weil das Gleichungssystem unterbestimmt ist - nur einen Zusammenhang zwischen x1 bzw. x4.
Klösp Auf diesen Beitrag antworten »

ich nehme an du meinst

x3=0
x2=1

und

x1+0,5*x4=-1

mir ist aber immer noch nicht klar was das für mein Ergebnis heißt.

1*a2+0*a3+???=x

Steh da irgendwie gerade aufm SChlauch.
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das meinte ich. Einen kleinen Fehler haben wir beide jetzt übersehen, von Schritt 2 auf Schritt 3 muss es rechts oben -0,5 heißen anstatt 0,5:

Zitat:





Dann ergibt sich statt
Zitat:
x1+0,5*x4=-1

eben .

Das heißt nun für dein Ergebnis, dass gilt, falls und erfüllt ist. (Oder etwas schöner vielleicht .)

Das ist dann im Prinzip schon die Lösung. Du hast jetzt alle möglichen Lösungen für die Koeffizienten angegeben, sodass sie linear kombiniert dann x ergeben.
Man kann das jetzt noch hübsch als Menge aufschreiben, wenn man möchte.
Klösp Auf diesen Beitrag antworten »

Also könnte ich das so schreiben?


Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das kann jetzt aber leider nicht stimmen. Denn die Gleichung stimmt ja wohl nur für t=0 ( passt), aber zum Beispiel nicht für t=2 ( .
Du hast mit t=0 nämlich nur die Lösung . Allerdings gibt es noch unendlich viele andere, nämlich alle x1, x2, x3, x4, für die (wie ich vorher geschrieben habe)
Zitat:
und erfüllt ist. (Oder etwas schöner vielleicht .)

Die Aufgabe lautete ja:
Zitat:
Geben Sie alle an, s.d. .

Diese Aufgabe hast du mit deiner Gleichung jetzt nicht wirklich erfüllt, da sie - weil sie nur für ein t stimmt - nur eine einzige Lösung liefert (und abgesehen davon nicht wirklich die Fragestellung beantwortet - denn gefragt war nach Möglichkeiten, die x1 bis x4 zu wählen und in deiner Gleichung sehe ich keine x1, x2, x3, x4...).


So. Erstmal durchatmen und verdauen. smile

Mit einer kleinen Modifikation könnte man die Gleichung allerdings vielleicht als Antwort durchgehen lassen. Als Antwort auf die Aufgabenstellung geben wir also:

Es gilt für beliebiges .

Allerdings glaube ich, dass es ein gutes Stück einfacher und auch für diese Aufgabenstellung prägnanter wäre, folgende Antwort zu geben:

gilt genau dann, wenn und . Oder als Lösungsmenge:
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