Hauptnenner - aber wie ?

14.02.2007, 12:06

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptnenner - aber wie ?

Hallo,

ich soll bei der Aufgabe mit dem Hauptnenner multiplizieren und dann die Normalform der Gleichung herstellen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge:
$\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \backslash \{1;-1\} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} (x-1) (x+1) = (x^2-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mein Problem, wie ich das nochmal mache mit dem Hauptnenner, ist einfach zulangeh er das ich in der Schule war.

$\begin{eqnarray*} (x^2-1) \end{eqnarray*}$ muss ich die nur auf der linken seite multiplizieren? mit einem der beiden brüche oder mit beiden?

$\begin{eqnarray*} (x-1) (x+1) \end{eqnarray*}$ und das nur auf der rechte seite der Gleichung oder? und auf der linken im Zähler dann halt weglassen?

greetz willi

14.02.2007, 12:09

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Du musst sowohl beide Summanden auf der linken Seite als auch den Bruchterm auf der rechten Seite mit dem Hauptnenner multiplizieren, wodurch du dann durch Kürzen eine Gleichung ohne Brüche erhälst, die du dann nach x auflösen kannst.

Gruß Björn

14.02.2007, 12:13

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst immer schauen mit was du den jeweiligen Bruch erweitern musst, sodass $\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ herauskommt.
Z.B:
$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$ wenn man hier mit $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ erweitert kommt man auf
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite musst du nichts mehr machen, da der Nenner schon der Hauptnenner ist.

Edit: Oder du nimmst Björns Weg. Der ist auch schneller.

14.02.2007, 12:14

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir das evtl. an einem Beispiel einmal zeigen? Dann kann ich dir dasan meienr formel mal zeigen ob ich es verstanden habe Big Laugh

Big Laugh

greetz willi

14.02.2007, 12:20

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Lass es uns doch an deiner Aufgabe mal testen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{(x-1)(x+1)(x-1)}{x+1} = \frac{4(x+1)(x-1)}{(x^2-1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt munter drauf los kürzen und du erhälst eine bruchfreie Gleichung smile

smile

Gruß Björn

14.02.2007, 12:22

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge:
$\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \backslash \{1;-1\} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} (x-1) (x+1) = (x^2-1) \end{eqnarray*}$

Ganz hab ich es noch nicht verstanden...

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Den ersten Bruch auf der linken setite muss ich mit $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ erweitern, richtig?
Den zweiten Bruch auf der linken Seite muss ich ja mit $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ erweitern, richtig?

Muss ich $\begin{eqnarray*} (x-1) (x+1) \end{eqnarray*}$ damit auf der rechten Seite auch noch was machen, generrell? Ne oder? ich muss immer auf der jeweiligen Seite der Gleichung bleiben oder?

$\begin{eqnarray*} (x^2-1) \end{eqnarray*}$ hiermit multipliziere ich also nr auf der rechten seite und kann da dann alles wegkürzen bis auf die 4 die bleibt stehen, ist das korrekt?

greetz willi

Anzeige

14.02.2007, 12:47

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt glaube ich habe ich es verstanden :-)

$\begin{eqnarray*} 2x^2- 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist das richtige Ergebnis und dann halt noch in Normalform bringen $\begin{eqnarray*} x^2- \frac {1} {2} = 0 \end{eqnarray*}$ .

und dann wieder mit der pq-Formel die Lösungsmenge ausrechnen, richitg oder?

liebe grüße willi

14.02.2007, 13:05

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf 2x²+2=4 <=> 2x² -2 =0 <=> x²-1=0 <=> x²=1

Gruß Björn

14.02.2007, 13:30

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{5x-2}{x^2+4x+4} + \frac{4x-7}{x+2} = 2 \end{eqnarray*}$

so nur mal so zum testen ob ich es nun auch wirklich kapiert habe:

Definitionsmenge:
$\begin{eqnarray*} D:= \mathbb R \backslash \{ -2\} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner:
$\begin{eqnarray*} {x^2+4x+4} {x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ (5x-2) ( x^2+4x+4) (x+2) }{x^2+4x+4} + \frac{(4x-7) (x^2+4x+4) (x+2) } {x+2} = 2 \end{eqnarray*}$

So sollte es dann aussehen und dann wegkürzen! Aber soweit ist richtig oder?

greetz willi

14.02.2007, 13:32

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hauptnenner ist in diesem Fall (x+2)² weil x²+4x+4=(x+2)² gilt

Ich bin jetzt leider erstmal weg....schaue aber heute abend nochmal rein.

Bis dann

Gruß Björn

14.02.2007, 14:17

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist es so wi ich es habe falsch?

ich dachte immer, wenn ich nicht genau weiß was der Hauptnenner ist dann alles wasu nterm bruch steht einmal in dne zähler schreiben und ausmultiplizieren.

Also was untern den brüchen auf der linkenseite steht einmal in den Zähler vom ersten bruch und einmal in dne ähler vom zweite nbruch.

Das ist falsch? haben wir doch bei der ersten gleichung auch gemacht.

greetz willi

14.02.2007, 18:38

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich diese Aufgabe jetzt mal nicht über den Hauptnenner löse geht das doch so:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x-2}{x^2+4x+4} + \frac{4x-7}{x+2} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (5x-2)(x+2) + (4x-7) (x^2+4x+4) = 2(x^2+4x+4) (x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-26x^2-44x-48=0 \end{eqnarray*}$

und dann mit der Polynomdivision ausrechnen. so geht das doch uch oder ?

greetz willi

14.02.2007, 19:20

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Tipp Big Laugh

Big Laugh

: Dividiere durch
$\begin{eqnarray*} \left(x- \left(\sqrt[3]{ \frac{4 \sqrt{4819}}{\sqrt{3}} + \frac{23372}{27}} + \frac{808}{9 \sqrt[3]{ \frac{4 \sqrt{4819}}{\sqrt{3}} + \frac{23372}{27}}} + \frac{26}{3}\right) \right) \end{eqnarray*}$

Ne also da wirst du dich wohl beim ausmultiplizieren verrechnet haben. Ich würde erstmal $\begin{eqnarray*} x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$ in seine Linearfaktoren zerlegen.

14.02.2007, 19:31

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber mein zweiter schritt stimmt der dnn wenigstens? ich will doch erstmal wissen ob ich das so machen kann udn dann weiter ausrechnen. der ist aber richtig oder? Das man dies wahrscheinlich auf 100 andere Möglichkeiten lösen kann ist mir klar. :-)

willi

14.02.2007, 21:31

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Wilfried
dir wurde schon mit dem Zaunpfahl schon ne richtig große Beule an den Kopf gehauen und du spürst gar nix? Bist du Schmerzresistenz? Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Bjoern1982
Der Hauptnenner ist in diesem Fall (x+2)² weil x²+4x+4=(x+2)² gilt

14.02.2007, 21:43

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Lösungsweg ist zwar richtig, aber doch ziemlich fehleranfällig. Außerdem ersparst du dir eine Menge Arbeit mit meinem Weg.

14.02.2007, 22:35

Wilfried

Auf diesen Beitrag antworten »

danke schön das wollte ich doch nur wissen,...

Linearfaktorzerlegung habe ich schonmal gehört, aber was ist das überhaupt, könnt ihr mit das erklären?

greetz willi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »