Unstetige Umkehrfunktion

10.01.2013, 22:05

Mathesüchtiger

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Unstetige Umkehrfunktion

Nabend,

stehe vor folgender Aufgabenstellung:

Es sei $\begin{eqnarray*} f: [0, 2\pi) -> S , x -> exp(x*i)<br /> \end{eqnarray*}$

mit S := { z element C : |z| = 1 }

Zeigen Sie, dass f stetig und bijektiv ist, die Umkehrfunktion
f^1 jedoch nicht stetig ist.

Ich habe bisher schon gezeigt, dass f injektiv und surjektiv ist. Außerdem auch noch erklärt , warum f stetig ist.

Für die Umkehrfunktion habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f : \alpha -> [0,2\pi) , \alpha -> \frac{2*\pi *\alpha }{360} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun zeigen, dass diese Funktion unstetig ist?

Ist die Umkehrfunktion überhaupt richtig?

Wäre für jede Hilfe dankbar smile

smile

10.01.2013, 22:14

Che Netzer

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RE: Unstetige Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion ist eigentlich $\begin{eqnarray*} f^{-1}\colon\mathrm e^{\mathrm it}\mapsto\dotso \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} t\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ .
Dann betrachte eine Folge, die aus der unteren Halbebene heraus gegen Eins konvergiert.

10.01.2013, 22:35

Mathesüchtiger

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Aber die Umkehrfunktion soll doch alle komplexen Zahlen mit dem Betrag = 1 auf das Halboffene Intervall [0,2pi) abbilden, oder nicht? verwirrt

verwirrt

Dann muss doch t eine komplexe Zahl sein , oder eben ein Winkel?

Irgendwie komme ich gerade etwas durcheinander :S

10.01.2013, 22:56

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kommt aus $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ . Du kannst es gerne als Winkel interpretieren.

Zitat:

Aber die Umkehrfunktion soll doch alle komplexen Zahlen mit dem Betrag = 1 auf das Halboffene Intervall [0,2pi)

Ja, d.h. die Menge der komplexen Zahlen mit Betrag Eins wird auf das Intervall abgebildet, nicht jede Zahl einzeln.

10.01.2013, 23:37

smasher14121

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Danke erstmal:-).

Kann man sich das also folgendermaßen vorstellen? :

f bildet einen Winkel auf den dazugehörigen Vektor in der Gaußchen Ebene
der Länge 1 ab.

f^-1 soll den Vektor der Länge 1 mit Winkel phi auf den Winkel phi abbilden.

Stimmt das soweit?

11.01.2013, 00:13

Mathesüchtiger

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Und die Umkehrfunktion lautet einfach nur:

exp(it) --> t ??

exp(it) entspricht laut der Eulerschen Formel einer komplexen Zahl. Diese
hat stets die Länge 1 f^-1 bildet die komplexe Zahl einfach auf t ab, was logischerweise eine Zahl
im Intervall ist.

Korrekt?

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11.01.2013, 06:43

Che Netzer

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Das hört sich schon besser an.
Damit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ aber wirklich auf $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und nicht auf $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ abgebildet wird und damit der Bildbereich $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ ist, legt man mit $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{it} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ , die Darstellung des Arguments eindeutig fest.

Kannst du jetzt etwas mit dem Tipp aus meinem ersten Beitrag anfangen?

11.01.2013, 15:48

Mathesüchtiger

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Leider nein unglücklich

unglücklich

Ich verstehe nicht wieso die Folge gegen 1 konvergieren soll.
Die untere Halbebene ist doch der untere Teil der Geraden, die
In der Ebene liegt.

Hm.. Was genau soll die 1 sein? Etwa t oder e^it=1?

11.01.2013, 15:52

Che Netzer

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Weil die Umkehrfunktion genau an der Stelle Eins unstetig ist.
Und die untere Halbebene ist nicht Teil irgendeiner Geraden.

Und mit Eins meine ich die Zahl Eins. Wenn man die Umkehrfunktion betrachtet, gibt es nur eine Eins in deren Definitionsbereich.

11.01.2013, 16:20

Mathesüchtiger

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Also.

Wir haben gesagt, dass die Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} f^{-1} : e^{it} -> t \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi ) \end{eqnarray*}$

Du sagst, dass die Umkehrfunktion bei 1 unstetig ist. D.h. wir müssen
eine eine Folge gegen 1 konvergieren lassen und untersuchen, ob die Funktionswerte der Folgeglieder mit f^1(x) = 1 übereinstimmen oder eben nicht.

Da f^-1 unstetig ist, müsste f^-1(1) =/= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} f^-1(x) \end{eqnarray*}$

korrekt ? :/

11.01.2013, 16:23

Che Netzer

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Ja.
Dann betrachte mal ein Folge im Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ , die "von unten" (also aus der unteren Halbebene heraus) gegen Eins konvergiert.

11.01.2013, 16:26

Mathesüchtiger

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Sorry, hatte meinen Beitrag zu früh abgeschickt und nun nochmal editiert.

Wenn du von der unteren Halbebene sprichst, meinst du damit von links?

also so etwas? : $\begin{eqnarray*} \lim_{x0 \to 1} f^-1(x) \end{eqnarray*}$ , wobei x0 =< 1

11.01.2013, 16:31

Leopold

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Schau dir einmal die Euklid-Datei im Anhang an. Zum Öffnen verwende Euklid.

11.01.2013, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von smasher1412
Wenn du von der unteren Halbebene sprichst, meinst du damit von links?

Da muss man als Helfer ziemlich verzweifeln: Der Bildbereich deiner Originalfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ - und damit auch der Definitionsbereich der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ - ist der Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene:

Wie willst du da "von links" an den Punkt $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ (der ja dem Argument $\begin{eqnarray*} 1+0i=1 \end{eqnarray*}$ entspricht) herankommen, wenn links der 1 gar keine Werte im (rot gezeichneten) Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ vorhanden sind? unglücklich

unglücklich

Es geht nur von unten oder von oben, wobei zur Erzielung eines Gegenbeispiels natürlich nur der Weg von unten zum Ziel führt, wie von CheNetzer wiederholt schon ausgeführt.

12.01.2013, 02:01

Mathesüchtiger

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Vielen Dank schonmal für die Mühen.

Also, wenn eine Folge aus der unteren Halbebene heraus gegen die 1 konvergiert, so erhält man als Funktionswert des Grenzwertes 2pi.

Der Funktionswert an der Stelle 1 ist allerdings 0. 0=/=2pi -> f^-1 ist unstetig an der Stelle 1.

Mir ist leider unklar, wie ich das mathematisch mit der Umkehrfunktion zeigen kann :/

f^-1 ist ja , : e^it --> t

und e^it = cos(t) + i* sin(t)

Der Funktionswert an der Stelle 1 ist ja dann offensichtlich t=0.

Wie kann man nun am besten argumentieren, dass für eine Folge, die 1 konvergiert den Funktionswert 2pi hat?

Danke nochmal smile

smile

12.01.2013, 09:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von smasher1412
Also, wenn eine Folge aus der unteren Halbebene heraus gegen die 1 konvergiert, so erhält man als Funktionswert des Grenzwertes 2pi.

Als Grenzwert der Funktionswerte.

Wie könntest du denn eine solche Folge beschreiben?

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