Doppelpost! Bestimmung des adjungierten Operators

10.01.2013, 22:41	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung des adjungierten Operators Meine Frage: Hallo, ich möchte zu $\begin{eqnarray} T\colon L^2([0,1])\to H^1([0,1]), x\mapsto\int\limits_0^t x(s)\, ds \end{eqnarray}$ den adjungierten Operator bestimmen, wobei $\begin{eqnarray} H^1([0,1])=W^{1,2}([0,1]) \end{eqnarray}$ (Sobolevraum). Meine Ideen: Also das Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} H^1([0,1]) \end{eqnarray}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray} \langle u,v\rangle_{H^1([0,1])}=\langle u,v\rangle_{L^2([0,1])}+\langle\nabla u,\nabla v\rangle_{L^2([0,1])} \end{eqnarray}$ . Demnach würde ich zur Bestimmung des adjungierten Operators so beginnen: $\begin{eqnarray} \langle Tf,g\rangle_{H^1([0,1])}=\underbrace{\int\limits_0^1 (Tf)(x)\overline{g}(x)\, dx}_{=:A}+\underbrace{\int\limits_0^1 \nabla (Tf)(x)\overline{\nabla g}(x)\, dx}_{=:B} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\int\limits_0^1\int\limits_0^x f(s)\, ds \overline{g}(x)\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\int\limits_0^1\nabla\left(\int\limits_0^x f(s)\, ds\right) \overline{\nabla g}(x)\, dx \end{eqnarray}$ Weiter würde ich meinen, daß daraus mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt, daß $\begin{eqnarray} B=\int\limits_0^1 f(x)\overline{g'(x)}\, dx \end{eqnarray}$ . Nun komme ich nicht weiter. Daher wäre eine Hilfe sehr nett! ________________________________________________________________________ Längeres Herumprobieren hat mich jetzt auf Folgendes gebracht: Der adjungierte Operator $\begin{eqnarray} T^ \end{eqnarray}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray} T^\colon H^1([0,1])\to L^2([0,1]), x\mapsto \int\limits_t^1 x(s)\, ds+\overline{x'(t)} \end{eqnarray}$ . Kann mir das jemand bestätigen? Falls die Herleitung hiervon erwünscht ist, werde ich sie gerne liefern und meine Faulheit überwinden. Aber da es doch etwas länglich ist, frage ich erstmal, ob mir das jemand auch ohne die Herleitung bestätigen kann. Beste Grüße Dennis ________________________________________________________________________ Hallo, da bis jetzt niemand geantwortet hat, gehe ich davon aus, daß es wohl doch besser ist, wenn ich meine Rechnung ausführlich poste. Dabei muss ich mich auch selbst korrigieren, denn ich habe eine komplexe Konjugation in meinem Resultat falsch. Also ich berechne den adjungierten Operator wie folgt: $\begin{eqnarray} \langle Tf,g\rangle_{H^1}=\langle Tf,g\rangle_{L^2}+\langle (Tf)',g'\rangle_{L^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_0^1\int\limits_0^x f(s)\, ds~\overline{g(x)}\, dx+\int\limits_0^1 f(x)\overline{g'(x)}\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_0^1\int\limits_s^1 f(s)\overline{g(x)}\, dx\, ds+\int\limits_0^1 f(x)\overline{g'(x)}\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_0^1 f(s)\int\limits_s^1\overline{g(x)}\, dx\, ds+\int\limits_0^1 f(x)\overline{g'(x)}\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_0^1 f(s)\int\limits_s^1\overline{g(x)}\, dx\, ds+\int\limits_0^1 f(s)\overline{g'(s)}\, ds \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int\limits_0^1 f(s)\cdot\left(\int\limits_s^1\overline{g(x)}\, dx+\overline{g'(s)}\right)\, ds \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\langle f,T^g\rangle_{L^2} \end{eqnarray}$ Also ist der adjungierte Operator gegeben durch $\begin{eqnarray} x\mapsto\int\limits_t^1 x(s)\, ds+x'(t) \end{eqnarray*}$ . Vielleicht kann mir nun jemand sagen, ob ich richtig liege? Viele Grüße Dennis ________________________________________________________________________ edit von sulo: Habe den Dreifachpost zusammengefügt, damit es nicht wie ein betreuter Thread aussieht.

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