Beweis unabhängige Zufallsvariable

10.01.2013, 23:27

Lula90

Beweis unabhängige Zufallsvariable

Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

"Beweisen Sie direkt aus der De finition: Sind X, Y unabhängige Zufallsvariablen, so sind auch $\begin{eqnarray*} X+c, Y+d \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} c,d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ unabhängig."

Mein Problem ist, dass wir keine Definition haben die auch nur so ähnlich aussieht. Im Internet kann ich leider auch keine finden, die Variablen wie c oder d enthält.

verwirrt

11.01.2013, 00:15

Kasen75

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Hallo,

meine Idee ist, dass die Kovarianz gleich Null sein muss.

Ich bezeichne die transformierten Zufallsvariablen als $\begin{eqnarray*} X^* \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y^* \end{eqnarray*}$

Somit muss gelten: $\begin{eqnarray*} Cov(X^*,Y^*)=0 \end{eqnarray*}$

Die Kovarianz läst sich schreiben als $\begin{eqnarray*} E(Y^* \cdot X^*)-E(X^*) \cdot E(Y^*) \end{eqnarray*}$
Auch das muss Null sein, wenn Unabhängigkeit vorliegt.

Jetzt kann man die Ausdrücke jeweils einsetzen:

$\begin{eqnarray*} E \bigg( (X+c) \cdot (Y+d) \bigg)-E(X+c) \cdot E(Y+c)=0 \end{eqnarray*}$

Hier muss dann dann die Bedingung für die Unabhängigkeit einer nicht-transformierten Zufallsvariable herauskommen.

Grüße.

11.01.2013, 10:15

Mazze

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Zitat:

meine Idee ist, dass die Kovarianz gleich Null sein muss.

Das ist nicht hinreichend für die Unabhängigkeit. Gegenbeispiel (Wiki) :

X,Y Bernoullieverteilt mit Parameter p und unabhängig, dann sind X + Y und X - Y unkorreliert, aber nicht unabhängig. Beweis :

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X+Y,X-Y) = \operatorname{Cov}(X,X) - \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Cov}(Y,X) - \operatorname{Cov}(Y,Y) = \operatorname{Cov}(X,X) - \operatorname{Cov}(Y,Y) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber

$\begin{eqnarray*} P(X+Y=0, X-Y=1) = 0 \neq p(1-p)^3 = P(X+Y=0)P(X-Y=1) \end{eqnarray*}$

Damit sind X + Y und X - Y nicht unabhängig, wohl aber unkorreliert.

Zur eigentlichen Aufgabe :

Es ist zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} P(X + c,Y + d) = P(X + c)P(Y + d) \end{eqnarray*}$ (Das ist die Definition von Unabhängig)

gilt. Wenn man mal hinschreibt was genau $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X + c) \end{eqnarray*}$ bedeuten, ist der Beweis gar nicht so schwer :

$\begin{eqnarray*} P(X) = P(X \in A) = P(\{\omega : X(\omega) \in A\}) \end{eqnarray*}$

und analog

$\begin{eqnarray*} P(X + c) = P(\{\omega: X(\omega) + c \in A\}) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \{\omega: X(\omega) + c \in A\} = \{\omega: X(\omega) \in A - c\} \end{eqnarray*}$ (Beweis!)

wobei $\begin{eqnarray*} A - c = \{a - c : a \in A\} \end{eqnarray*}$ ist. Damit kann man die ganze Aufgabe erschlagen.

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