Dreieck in Dreieck einpassen |
| 11.01.2013, 09:50 | Freitag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dreieck in Dreieck einpassen Ein beliebiges Dreieck (I) soll in ein anderes beliebiges Dreieck (II) eingepasst werden - derart, daß die Abstände der jeweiligen Eckpunkte minimiert sind. Bedingungen: Es handelt sich un ein rein 2-dimensionales Problem. Gegeben sind die (alle) Koordinaten des Dreiecks (I) und des Dreiecks (II). Die Einpassung soll/kann nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate erfolgen. Die Einpassung ist quasi eine Aufhängung des Dreiecks (I) mit Federn an den Eckpunkten des Dreiecks (II). Die Abstände der Dreickpunkte soll minimiert sein - Maximalwertaufgabe. Wie lauten die Koordinaten des aufgehängten/eingepassten Dreiecks ? [Wie groß sind die Abstände der Eckpunkte Dreieck (I) zu Dreieck (II) ?] Meine Ideen: Sonderfälle. sind denkbar - sollen jedoch nicht betrachtet werden: 3 oder 2 koordinatenpunkte auf einer Linie, 2 identische Koordinaten (es existiert sich kein reelles Dreieck). Die Größen/Ausdehnungen des Dreiecks (I) und des Dreiecks (II) sollten ähnlich sein. Ein starker Größenunterschied ändert jedoch nichts an der Aufgabenstellung/Physik (dann sind die Abstände der Eckpunkte zueinander halt groß, es gilt ja diese zu minimieren). Bleiben die Koordinaten des ersten Dreiecks "fest", so ändern sich natürlich die Koordinaten des eingespannten Dreiecks - das eingespannte Dreieck in seiner Form nicht. Die Zuordnung der Dreieckunkte A(I)-A(II), B(I)-B(II), C(I)-C(II) gilt als fest gegeben. Ich denke es kann nur eine Lösung (in der Natur) geben. |
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| 11.01.2013, 14:26 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Koordinaten bereits gegeben sind, dann ist ja alles festgeklopft und nichts mehr zu minimieren. Ich verstehe die Problemstellung so, dass die Dreiecke an sich gegeben sind (z.B. durch die Angabe aller Seitenlängen), aber noch gegeneinander verschoben bzw. gedreht werden können. Unter "Meine Ideen" ist ja dann auch dementsprechendes bei dir zu lesen. Und eine zweite Anmerkung: Was verstehst du unter einer "Minimierung der Abstände"? Es sind drei Abstände, eine gemeinsame Minimierung aller drei dürfte kaum machbar sein. Geht es daher um die Minimierung der Summe der Abstände bzw. noch wahrscheinlicher, um die Minimierung der Summe der Quadrate der Abstände (so zumindest könnte man einige deiner Einlassungen deuten) ? 
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| 11.01.2013, 16:31 | Freitag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke fuer die beiden Bemerkungen: Die beiden beliebigen Dreiecke sind definiert (durch Koordinaten sprich Wertetuppel der Ecken A, B, C). Die beiden Dreiecke sind damit "gegeben/fest" in ihrer Gemetrischen Form. Eines der Dreiecke kann in seiner LAGE zum zweiten Dreieck frei bewegt werden. Die Minimierung soll bezueglich ALLER drei Eckpunkte zueinander erfolgen. Die Quadratsumme der 3 Abständ - soll minimiert sein. (Aufhängung des beweglichen Dreiecks an Federn) |
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| 11.01.2013, 16:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun ja, damit ist das Problem klar. Es lässt sich offenbar als Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen formulieren, durch wiederholte Verwendung von Pythagoras. Lösen lässt es sich dann z.B. mit Lagrange-Multiplikator. |
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