Konvergenz von Summe(sin(n)/n)

11.01.2013, 15:08

Screwhal

Konvergenz von Summe(sin(n)/n)

Meine Frage:
Also ich hab mir überlegt wie man die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{sin(n)}{n} ) \end{eqnarray*}$ zeigen kann.

Meine Ideen:
Ich hatte ein paar Ansätze die zu nichts geführt haben, dann hab ich nachgelesen dass man dies mit dem Dirichlet Konvergenzkriterium zeigen soll. Ok nach diesem Kriterium konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_k \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ eine monoton fallend Nullfolge und die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.
So dass bei unserem Beispiel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 1/n \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist ist klar denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 1/n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}>\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ . Mein Problem ist dass ich nicht zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \sin(n) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Ich weiss auch nicht genau wie man zeigt dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist denn aus dem Dirichlet-Kriterium soll ja das Leibnitzkriterium folgen. Ich dachte daran zu zeigen dass das Integral von sin(n), also cos(n) beschränkt ist, weiss aber nicht ob daraus auch die Beschränktheit der Reihe folgt, bin ziemlich ratlos wie ich das zeigen soll. Gibt es ein allgemeines Verfahren um die Beschränktheit von Reihen zu zeigen?

11.01.2013, 15:44

HAL 9000

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Zu zeigen ist, dass die Folge der Partialsummen von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \sin(n) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, also die Folge $\begin{eqnarray*} s_k := \sum\limits_{n=1}^k \sin(n) \end{eqnarray*}$ .

Das geht sehr gut über komplexe Zahlen, denn wegen $\begin{eqnarray*} e^{in} = \cos(n)+i\sin(n) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \sin(n) = \operatorname{Im}(e^{in}) \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} s_k = \operatorname{Im}\left( \sum\limits_{n=0}^k e^{in} \right) \end{eqnarray*}$

Der komplexe Term da ist wiederum die Partialsumme einer geometrischen Reihe, dafür gibt es Summenformeln...

Zitat:

Original von Screwhal
Ich weiss auch nicht genau wie man zeigt dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist

Da hast du dich aber nicht sonderlich angestrengt: Man muss sich doch nur die ersten paar Partialsummen von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \end{eqnarray*}$ anschauen, um die Trivialität der Beschränktheit dieser Partialsummen zu erkennen!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{1} (-1)^n = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{2} (-1)^n = -1+1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{3} (-1)^n = -1+1-1 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{4} (-1)^n = -1+1-1+1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{5} (-1)^n = -1+1-1+1-1 = -1 \end{eqnarray*}$

usw.

11.01.2013, 16:03

Screwhal

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Re: Re:
Oh je ich kenne die geometrische Summenformel aber wie geht das mit komplexen Zahlen, ich muss ja dann sagen e^i<1 damit das konvergiert oder wie, wieso reicht es die Summe bis n gehen zu lassen? Muss man nicht ziegen dass die Unendliche Summe beschränkt ist?

11.01.2013, 16:09

HAL 9000

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Die Summenformel

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^k q^n = \frac{1-q^{k+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

gilt für jede (!) komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ , übrigens auch für $\begin{eqnarray*} q=-1 \end{eqnarray*}$ (für dein Leibnizreihen-Beispiel).

Erst im Grenzwert $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ muss man zusätzlich $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ fordern, damit die Reihe konvergiert. Aber darum geht es hier nicht, es geht nur um die Beschränktheit der Partialsummen.

P.S.: Anscheinend hast du immer noch nicht den Unterschied kapiert zwischen Konvergenz der Reihe einerseits, und Beschränktheit der Partialsummen andererseits:

Aus ersterem folgt zwingend letzteres, aber die Umkehrung stimmt NICHT. Und es sind aber gerade die nicht konvergenten Reihen mit beschränkten Partialsummen, die das Dirichlet-Kriterium interessant machen!

11.01.2013, 16:37

Screwhal

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Re: Re:
Genau das ist eig. mein Problem gewesen was genau ist eine beschränkte Partialsumme?

11.01.2013, 17:35

Screwhal

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RE: Re:
Ich check das nicht die Geometrische Partialsumme ist doch nicht beschränkt?
$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$ geht doch gegen Unendlich wenn n ganz gross wird und q>1, wieso sagt man denn das die Folge der Partailsummen beschränkt ist? Oder ist e^(i*n) periodisch und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1-e^{i*n}}{1-e^i}<\infty, \end{eqnarray*}$ wenn ja wie zeige ich das? Tut mir leid ich kenne mich mit komplexen Zahlen nicht aus :/

11.01.2013, 19:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Screwhal
Genau das ist eig. mein Problem gewesen was genau ist eine beschränkte Partialsumme?

Du weißt, was eine beschränkte Folge ist? Du weißt, was die Partialsummenfolge einer Reihe ist? Dann solltest du auch kombinieren können, was eine beschränkte Partialsummenfolge ist.

Zitat:

Original von Screwhal
Ich check das nicht die Geometrische Partialsumme ist doch nicht beschränkt?
$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$ geht doch gegen Unendlich wenn n ganz gross wird und q>1

Im Fall $\begin{eqnarray*} q=e^i \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |q|=1 \end{eqnarray*}$ , und dann liegt sehr wohl eine Beschränkung vor, die man durch eine einfache Abschätzung des Betrages der Summenformel zeigen kann.

12.01.2013, 02:01

Screwhal

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re:
Also ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty sin(k) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{sin(n)}{sin(1)} \end{eqnarray*}$ beschränkt? Also dem Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} \frac{1-(cos(n)+i*sin(n))}{1-e^i} \end{eqnarray*}$ . Sprich nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{sin(1)} \end{eqnarray*}$ und nach oben durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sin(1)} \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2013, 12:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Screwhal
Also ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty sin(k) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{sin(n)}{sin(1)} \end{eqnarray*}$ beschränkt? Also dem Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} \frac{1-(cos(n)+i*sin(n))}{1-e^i} \end{eqnarray*}$ . Sprich nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{sin(1)} \end{eqnarray*}$ und nach oben durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sin(1)} \end{eqnarray*}$ ?

Diese Abschätzung kann ich so nicht nachvollziehen - dividerst du da einfach nur die Imaginärteile??? Führe das mal bitte exakt aus!

Ich hätte einfach im Zähler nach Dreiecksungleichung

$\begin{eqnarray*} |s_k| \leq \left| \frac{1-e^{i(k+1)}}{1-e^i} \right| = \frac{\left|1-e^{i(k+1)}\right|}{\left|1-e^i\right|} \leq \frac{|1|+\left|-e^{i(k+1)}\right|}{\left|1-e^i\right|} = \frac{2}{\sqrt{(1-\cos(1))^2+\sin^2(1)}} \end{eqnarray*}$

abgeschätzt.

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