Zeigen, dass Vektoren eine Basis bilden

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Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Vektoren eine Basis bilden
Hey Leute,

Also, erste Teilaufgabe ist, dass man zeigen soll, dass die gegebenen Vektoren im entsprechenden R-Vektorraum R eine Basis bilden.

Das sind meine Vektoren:



Soweit wie ich es verstanden, muss man rausfinden, ob es ein t gibt, so dass gilt



Hab die Matrix aufgestellt und rausbekommen, dass .


War es da jetzt schon? Ich hatte, was von 2 Bedingungen gelesen.
Vielleicht findet sich jemand, der sich dem Problem annimmt...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist gelöst. Allerdings fehlt ein "+".
 
 
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Die Aufgabe geht leider noch weiter Augenzwinkern

Nun sollen noch die entpsrechenden Darstellungen der Standardeinheitsvektoren bezogen auf die durch gebildete Basis (Basistransformation) bestimmt werden.

Kannst du damit was anfangen? Ich leider nicht traurig
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Streng genommen ist bisher nur die lineare Unabhängigkeit gezeigt. Die Eigenschaft, Erzeugendensystem zu sein, fehlt noch. Auch wenn sie hier noch so trivial ist.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

@URL: ja genau das meinte ich mit den 2 Bedingungen. Wie zeige ich das denn mit dem Erzeugendensystem?
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sind eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind und du jedes beliebige Element des betrachteten Vektorraumes - hier wohl - als Linearkombination von darstellen kannst (letzteres bedeutet, dass ein Erzeugendensystem sind).
Lineare Unabhängigkeit hast du schon. Was jetzt noch zu zeigen ist, hängt davon ab, was du schon über Vektorräume, Basis und Dimension - insbesondere vom Vektroraum - weißt. Evtl musst du rechnen oder kannst argumentieren.

Zum zweiten Teil der Aufgabe: Hier ist genau die oben erwähnte Rechnung gefragt, allerdings nur für die Standardeinheitsvektoren .
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Ich würde eigentlich lieber rechnen statt argumentieren.
Super, dass du weißt, auf was die Aufgabenstellung hinaus will.

Kannst du irgendwas davon direkt anhand des Beispiels zeigen. Also das mit der Linearkombination. Wie zeige ich, dass ich jedes betrachtete Element von als Linearkombination darstellen kann?

Es wäre auch echt nett, wenn du noch was zu den Standardeinheitsvektoren erwähnen würdest.
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Also gut, zuerst Erzeugendensystem, Standardeinheitsvektoren später. Vertrau mir Augenzwinkern
Zunächst mal ganz allgemein: Ein Element eines Vektorraumes soll als Linearkombination von zwei anderen Vektoren geschrieben werden. Wie würdest du das ansetzen?
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Vielleicht so:



oder so


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Bei v_2 ist die zweite Komponente falsch, sonst passt alles.
Das musst du jetzt nach auflösen. Wenn das geht - und es geht - hast du gezeigt, dass v durch v_1 und v_2 ausgedrückt werden kann und bist schon fertig.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt.

Also



Ich hab jetzt erstmal verstanden, worum es eigentlich geht. Man soll nachweisen, dass sich aus und ein beliebiger Vektor mittels Linearkombination darstellen lässt.

Also das Gleichungssystem ist:



Dann komm ich für Beta auf

Also lassen sich Alpha und Beta für jeden beliebigen Vektor (a,b) eindeutig angeben.

Stimmt das so?
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Warum schreibst du jetzt statt ?
Was bekommst du für ? Das brauchen wir für die Standardeinheitsvektoren
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil a und b schneller mit Latex darzustellen sind Augenzwinkern Hatte mich da kurzfristig umentschieden...

Oh, Alpha brauchen wir auch? Keine Ahnung. War eher ein Glücksgriff mit Beta. Hatte mittels Gauß die Matrix auf Dreiecksform gebracht und dann ging Beta relativ einfach. Kannst du eventuell zeigen, wie man das bestenfalls und erfolgsführend auflöst?
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Also gut, dann ab jetzt a und b. Augenzwinkern
Aus der Dreiecksform kannst alpha bestimmt selber berechnen, oder?
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Sonst hätte ich ja a geschrieben.

Dreiecksform ist

Auf diese Form bin ich durch den Schritt gekommen.

Ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll, beim Einsetzen.

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Das b in deiner Dreiecksform ist falsch. Du musst alle Zeilenumformungen auch auf der rechten Seite durch führen. z.B. wird aus

durch Multiplikation der ersten Gleichung mit 2 und der zweiten Gleichung mit 3

Wenn du jetzt die erste Gleichung zur zweiten addierst bekommst du

Die zweite Gleichung bedeutet ja gerade
Das kannst du jetzt in die erste Gleichung(!) einsetzen und ausrechnen.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Merk ich mir doch glatt!

Ich schreib mal nur das Ergebnis, in der Hoffnung, dass ich richtig gerechnet habe. Augenzwinkern

Ist Alpha zufälligerweise a-b ?


Wenn es verkehrt ist, poste ich den Lösungsweg.
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leider nicht ganz...
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Vertippt.

Alpha = a + b

Wie ist das nun mit den Einheitsvektoren?
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Du weißt jetzt, dass du einen beliebigen Vektor als Linearkombination schreiben kannst, wenn du
nimmst.
Jetzt musst du nur noch für der Reihe nach die Einheitsvektoren einsetzen und jeweils ablesen. Damit hast du dann den zweiten Teil deiner Aufgabe erledigt.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, wie das geht. Hab nicht mal einen Ansatz.

Kannst du zeigen, wie es das funktioniert?
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Wie sehen denn die Standardeinheitsvektoren aus?
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht

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Genau Freude
Jetzt setz mal . Was sind dann a und b und was sind dann ?
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie das aussehen soll...



So vielleicht?
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viel zu kompliziert gedacht.
Wenn was sind dann a, b?
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

a = 1 und b = 0?
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Jetzt hast du also eingesetzt und a,b bestimmt. Jetzt hättest du aber endlich auch mal selbst darauf kommen können was zu tun ist. Geschrieben habe ich es ja schon:
Zitat:
Original von URL
Du weißt jetzt, dass du einen beliebigen Vektor als Linearkombination schreiben kannst, wenn du
nimmst.
Jetzt musst du nur noch für der Reihe nach die Einheitsvektoren einsetzen und jeweils ablesen. Damit hast du dann den zweiten Teil deiner Aufgabe erledigt.

Ehrlich gesagt habe ich keine Lust mehr, weil von dir überhaupt nichts konstruktives kommt. Stattdessen lässt du dir von mir alles bis in letzte Detail erklären.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, erklären fände ich toll, denn ich frage hier, weil ich nicht weiß wie es geht.

Für mich ist immer noch nicht ersichtlich, wie ich Alpha und Beta ablese, warum ich das mache und was das Ergebnis sein soll.

Wenn ich den ersten Einheitsvektor einsetze, ergibt das



Und für den zweiten Einheitsvektor:

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Na geht doch.
Und zur Frage nach dem warum erinnerst du dich an deine Aufgabe
Zitat:
Original von Angel92
Okay. Die Aufgabe geht leider noch weiter Augenzwinkern

Nun sollen noch die entpsrechenden Darstellungen der Standardeinheitsvektoren bezogen auf die durch gebildete Basis (Basistransformation) bestimmt werden.

Kannst du damit was anfangen? Ich leider nicht traurig

Das bedeutet doch gerade, die Standardeinheitsvektoren als Linearkombination von darzustellen. Dazu brauchtest du die Koeffizienten die du jetzt bestimmt hast.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn das Ergebnis aus?
Einfach nur als Alpha und Beta oder als Vektor


?
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Natürlich kannst du einfach für jeden Standardeinheitsvektor das zugehörige Paar angeben.
Schöner - und vermutlich auch im Sinne der Aufgabe, entsprechende Darstellungen der Standardeinheitsvektoren anzugeben - wäre es, die beiden Linearkombinationen aufzuschreiben.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Darstellung meiner letzten Nachricht die korrekte abschließende Darstellung ?
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