nicht faktorieller Ring |
| 11.01.2013, 20:06 | eckbeiw | Auf diesen Beitrag antworten » |
| nicht faktorieller Ring ich habe eine Frage: Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: z.Z a) Z[sqrt15] und b) Z[sqrt-31] sind nicht faktoriell. Folgendes habe ich mir überlegt und ich wollte wissen, ob es das tut: zu a) (1-sqrt15)(1+sqrt15) = -14 = (-1)*2*7 Ich weiß folgende zwei Sätze: In einem faktoriellen Ring ist die Zerlegung eines Elements R\{0} bis auf Reihenfolge und Einheiten in irreduzible Elemente eindeutig. Außerdem gilt: Sei R ein faktorieller Ring und p elememt R dann gilt: p irreduziebel <-> p Primelemt. Mein Vorgehen also: Behauptung: 2 element Z[sqrt15] irred., aber kein Primelemt, deshalb Z[sqrt15] nicht faktoriell. Irred.: Ich mach das mit der Norm, also als erstes: N(m+n*sqrt15)=m^2-n^215 ist nicht gleich 2 Sei 2= a*b mit a,b element Z[sqrt15], 4=N(2)=N(a)N(b) daraus folgt: N(a)= 1 oder N(b)= 1 -> a oder b ist Einheit, da die Norm 1 ist -> irreduzibel (Reicht das?) Um zu zeigen, das 2 nicht prim ist nehme ich: (1-sqrt15)(1+sqrt15) = -14 = (-1)*2*7 2 teilt das Produkt, aber nicht (1-sqrt15)und(1+sqrt15) ---> Z[sqrt15] ist nicht faktoriell. Ist das richtig so? Bei b) würde ich ähnlich vorgehen, es wäre dann nur ( 1+ sqrt(-31))*(1- sqrt(-31)) = 32 = 2^5 also das gleiche Spiel mit 2. Könnt ihr mir das bestätigen oder hab ich irgendwo einen Denkfehler gemacht. Ich hoffe, jemand kann mir weiter helfen. Vielen Dank hierfür 
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