Norm für Raum der stetig diff.baren Funktionen

11.01.2013, 22:17	mathe_frager3	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm für Raum der stetig diff.baren Funktionen Hallo Leute, ich habe eine Frage und bis jetzt nirgendwo eine Antwort bekommen und hoffe, dass es jemand von euch weiß Und zwar möchte ich den Raum $\begin{eqnarray} C^1(\mathbb R^n, \mathbb R) \end{eqnarray}$ betrachten, also den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen, die auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ definiert sind. Ich glaube (hier hoffe ich auf eine Bestätigung), dass man hier eine Norm mittels $\begin{eqnarray} \\|f\\|_{C^1} := \\|f\\|_{C^0} + \\| \nabla f \\|_{C^0} \end{eqnarray}$ definieren kann. Meine Frage, ist das ein Banachraum? Wenn nicht, kann ich das irgendwie hinkriegen, in dem ich den Definitionsbereich einschränke, z.B. auf was Kompaktes (sowas hatte ich irgendwo) gelesen. Würde mich auch super über Literatur-Hinweise freuen! Danke!
11.01.2013, 22:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm für Raum der stetig diff.baren Funktionen Das Problem ist, dass es keine Norm ist. Eine stetige Funktion auf einer nicht-kompakten Menge kann unbeschränkt sein, insb. ist die Supremumsnorm dann "unendlich". Schränkt man es aber auf ein Kompaktum ein, nimmt die Funktion ihr Maximum (und Minimum) an, da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist ihre Ableitung stetig und auch die nimmt ihr Maximum an. Die Norm ist damit wohldefiniert. Dass der Raum dann sogar vollständig ist, folgt sofort daraus, dass der Raum der stetigen Funktionen vollständig ist. Wie man das wiederrum beweist: Man nimmt sich eine Cauchyfolge in den stetigen Funktionen. Daraus folgt, dass die Folge an jedem x eine Cauchyfolge in einem (hoffentlich) vollständigem Körper ist. Damit bekommt man schon eine mögliche Grenzfuntkion. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass diese stetig ist. Ich bin sicher, dass kann man in Standard-Funktionalanalysisbüchern wie dem Wilhelm Alt oder Dirk Werner nachlesen.
11.01.2013, 23:32	mathe_frager3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm für Raum der stetig diff.baren Funktionen Vielen Dank für die Antwort, IfindU. Du hast recht. Ich habe jetzt noch eine Quelle gefunden, wo $C^k(\mathbb R^n)$ schon so definiert ist, dass die ersten $k$ Ableitungen noch beschränkt sein sollen Und da steht auch, dass es ein Banachraum ist und das reicht mir auch schon! Danke nochmal. Den Werner hatte ich nicht zur Hand, werde es mir aber mal wieder ausleihen am Montag. Es ist schon etwas lange her und daher ein bisschen mühseelig, wenn man es alleine probiert ohne die Routine
12.01.2013, 09:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm für Raum der stetig diff.baren Funktionen So eine Definition habe ich noch nicht gesehen, aber es ist wohl die einzige (kanonische) Möglichkeit, wenn man stetige Funktionen auf dem Ganzraum zu betrachten und eine gute Norm zu finden. Man muss allerdings noch fordern, dass die Funktion selbst noch beschränkt ist (wenn du C^0 nicht schon so kennen gelernt hast). So wäre nämlich f(x) = x_1 stetig, alle Ableitungen nach oben beschränkt, aber f sollte nicht in dem Raum liegen (damits ein Banachraum ist).

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