Konvergenzradius

14.02.2007, 14:37

Cru

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Konvergenzradius

Hallo
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \begin{pmatrix} n+1 \\ n-1 \end{pmatrix} \cdot (x-1)^{n} \end{eqnarray*}$

hab mit hilfe des Quotientenkriteriums nun die Form!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot n!} }{\frac{(n+2)!}{(n)!\cdot (n+1)!} } = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!\cdot(n)!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot n!\cdot(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Wenn ja wie kann ich das den Kurzen? verwirrt

verwirrt

Ich weiss nicht, wie ich Fakultäten kurzen kann! kann mir mal einer was dazu sagen?
Danke...

14.02.2007, 14:46

tigerbine

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Kürzen von Fakultäten:
$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2 \cdot ....(n-1) \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-1)! = 1\cdot 2 \cdot ....(n-1) \end{eqnarray*}$

siehst du es jetzt?

14.02.2007, 14:52

Shurakai

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Du solltest auch auf jedenfall nochmal das Quotientenkriterium überprüfen, das sieht mir nicht richtig aus. Für den Konvergenzradius benutzt man übrigens soweit ich weiß i.d.R. den limes superior in Verbindung mit dem Wurzelkriterium. (So hatten wir es gelernt)....

Auf jedenfall hat das Quotientenkritierium bei mir bei dieser Folge keine Aussage geliefert (wg. lim = 1) ... smile

smile

14.02.2007, 14:59

Cru

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RE: Kürzen von Fakultäten:

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2 \cdot ....(n-1) \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-1)! = 1\cdot 2 \cdot ....(n-1) \end{eqnarray*}$

siehst du es jetzt?

Yo dann bleibt ein n über!

Ist denn..
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1\cdot 2 \cdot ....\cdot(n-1) \cdot n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2 \cdot ....(n-1) \cdot n \end{eqnarray*}$

und da bleibt ein (n+1) über?

14.02.2007, 15:00

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
@Cru: Wie hast du denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgelöst? verwirrt

verwirrt

@Shurakai: die Bestimmung des Konvergenzradius geht ohne weiteres auch mit dem Quotientenkriterium.

Zitat:

Original von Cru
Ist denn..
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = 1\cdot 2 \cdot ....\cdot(n-1) \cdot n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2 \cdot ....(n-1) \cdot n \end{eqnarray*}$

und da bleibt ein (n+1) über?

Ja, wenn du mit "bleibt ein (n+1) über" den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{n!} \end{eqnarray*}$ meinst.

14.02.2007, 15:02

tigerbine

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RE: Konvergenzradius
@ cru: Was das rechnen mit Fakultäten angeht Freude

Freude

Was die Aufgabe angeht, da habe ich nicht nachgerechnet. Aber hast ja 2 andere Helfer Augenzwinkern

Augenzwinkern

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14.02.2007, 15:05

Cru

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von klarsoweit
@Cru: Wie hast du denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgelöst? verwirrt

verwirrt

Ja gute frage!
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist doch = $\begin{eqnarray*} \frac{m!}{n!\cdot (m-n)!} \cdot \end{eqnarray*}$ oder?

Was mich unsicher macht ist.... [latex](n+1)-(n-1)[/latexDa ist bestimmt der Fehler!

14.02.2007, 15:13

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Cru
Was mich unsicher macht ist.... $\begin{eqnarray*} (n+1)-(n-1) \end{eqnarray*}$ Da ist bestimmt der Fehler!

Genau.

14.02.2007, 15:14

Cru

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
Was mich unsicher macht ist.... $\begin{eqnarray*} (n+1)-(n-1) \end{eqnarray*}$ Da ist bestimmt der Fehler!

Genau.

Ist das $\begin{eqnarray*} (n+2) \end{eqnarray*}$ ??

14.02.2007, 15:21

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
unglücklich

unglücklich

Wie löst man denn Klammern auf? Und wenn's hilft: setz mal für n ein paar Zahlen ein.

14.02.2007, 15:24

Cru

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von klarsoweit
unglücklich

unglücklich

Wie löst man denn Klammern auf? Und wenn's hilft: setz mal für n ein paar Zahlen ein.

mmhhh

Hammer

also ist das 2?
Sonst weiss ich echt nicht!

14.02.2007, 15:46

Cru

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot 2!} }{\frac{(n+2)!}{(n)!\cdot 3!} } = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!\cdot2!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot n!\cdot3!} = \lim_{n \to \infty } \frac{n\cdot(n+1)\cdot2!\cdot (n+1)}{3!} \end{eqnarray*}$

14.02.2007, 15:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
mmhhh Hammer

Hammer

also ist das 2?
Sonst weiss ich echt nicht!

Ja. Höchstgradig schwierig, oder? Schulniveau 8.oder 9.Klasse Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot 2!} }{\frac{(n+2)!}{(n)!\cdot 3!} } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf 3! ?

14.02.2007, 16:06

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
mmhhh Hammer

Hammer

also ist das 2?
Sonst weiss ich echt nicht!

Ja. Höchstgradig schwierig, oder? Schulniveau 8.oder 9.Klasse Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot 2!} }{\frac{(n+2)!}{(n)!\cdot 3!} } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf 3! ?

Weiss auch nicht!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot 2!} }{\frac{(n+2)!}{(n)!\cdot 2!} } = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)!\cdot2!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot n!\cdot2!} = \lim_{n \to \infty } \frac{n\cdot(n+1)\cdot2!\cdot (n+1)}{2!} \end{eqnarray*}$
Ist das denn jetzt auch richtig gekürzt? verwirrt

verwirrt

14.02.2007, 16:10

AD

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Vor dem Kürzen solltest du erstmal den Doppelbruch in einen einfachen Bruch umwandeln - deine Variante ist da völlig danebengegangen...

-------------------------------------------------

Ok, ich außere mich nicht weiter zu dem Doppelbruch, sondern direkt zu einer vorherigen Vereinfachung des Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{n-1} \end{eqnarray*}$ , also vor Einsetzen in den Quotienten.

Irgendwie haben eine Menge Leute verdammt große Knoten im Hirn, wenn es um Fakultäten geht - genauer: Diese zu kürzen. Dabei muss man sich doch nur die "größere" der beiden schnappen und diese gemäß Regel

$\begin{eqnarray*} k! = k\cdot (k-1)! \end{eqnarray*}$ ,

- vielleicht auch mehrfach hintereinander angewandt - auf die "kleinere" Fakultät zurückführen!

Im vorliegenden Fall heißt das für

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot ((n+1)-(n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot 2!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!\cdot 2} \end{eqnarray*}$ ,

dass man $\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)\cdot n! = (n+1)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ in den Zähler einsetzt, und anschließend schön die $\begin{eqnarray*} (n-1)! \end{eqnarray*}$ kürzen kann:

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{n-1} = \frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{(n-1)!\cdot 2} = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

14.02.2007, 16:27

Cru

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Irgendwie haben eine Menge Leute verdammt große Knoten im Hirn, wenn es um Fakultäten geht - genauer: Diese zu kürzen.....

Das stimmt, ich kann mich da einfach nicht reindenken! Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n(n+1)}{2} }{\frac{(n+1)(n+2)}{2} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2n^{2}+2n}{2n^{2}+6n+6}= 1 \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

14.02.2007, 16:29

klarsoweit

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Ja.

Freude

14.02.2007, 16:31

Cru

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Danke sehr!

14.02.2007, 16:34

ich bin smile

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Warum hast du denn aufgelöst?
Alles war alles schon so schön gegliedert.
Kürzen wäre dann auch leichter.

Aber deine Auflösung ist im Nenner sowieso falsch.

2*(x+1)*(x+2)=2*(x^2+3x+2)=2x^2+6x+4

Trotzdem ist dein Ergebnis richtig, weil diese 4 im Zusammenhang mit unendlich wenig bedeutet.

14.02.2007, 16:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n^{2}+2n}{2n^{2}+6n+6} \end{eqnarray*}$

Der Term stimmt natürlich nicht. Ich hatte nur auf das Ergebnis geschaut. Hammer

Hammer

Die 2 in Nennern kürzt sich vorher raus.

14.02.2007, 17:11

Cru

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Mal zur Übung!
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \frac{3\cdot n!}{2\cdot (n+1)! \cdot (3n-2n+1)!} = \frac{3\cdot n\cdot (n-1)!}{2\cdot (n+1)\cdot n\cdot (n-1)! \cdot (n+1)\cdot n\cdot (n-1)!} = \frac{3}{2\cdot (n^{3} +2n^{2}+n)\cdot (n-1)!} \end{eqnarray*}$

Ist das auch richtig? verwirrt

verwirrt

14.02.2007, 18:19

ich bin smile

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Leider nicht.

Bei Fakultäteten kannst du nicht einfach was ausklammern. unglücklich

unglücklich

Beispiel: (2*3)! ist ungleich 2*3! oder so.

Demnach kannst du auch nicht schreiben (3n)!=3*n!

Dein Beispiel kann man schlecht kürzen.

Wie wärs mit

$\begin{eqnarray*} \binom{n+2}{n} \end{eqnarray*}$

15.02.2007, 08:28

Cru

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mmmhh...
$\begin{eqnarray*} n! = n \cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$
was ist dann z.B. $\begin{eqnarray*} 3n! \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} 3n! = 3n \cdot (3n-1)! \end{eqnarray*}$ ??
und noch eine Frage!
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$
ist dann
$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ ???

15.02.2007, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cru
was ist dann z.B. $\begin{eqnarray*} 3n! \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} 3n! = 3n \cdot (3n-1)! \end{eqnarray*}$ ??

Da ist das Problem, was stärker bindet: die Multiplikation oder die Fakultät? Vor 20 Jahren war es die Fakultät und ich denke, das ist heute noch so. Also ist:
$\begin{eqnarray*} 3n! = 3 \cdot (n!) = 3 \cdot n! \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (3n)! = 3n \cdot ((3n-1)!) = 3n \cdot (3n-1)! \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$

Stimmt.

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ ???

Stimmt nicht. Da fehlt der Faktor n+1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2007, 08:40

Cru

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Cru
$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ ???

Stimmt nicht. Da fehlt der Faktor n+1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

mmh

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2)\cdot(n+1)\cdot n\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$
oder wie?

15.02.2007, 08:46

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Freude

15.02.2007, 08:50

Cru

Auf diesen Beitrag antworten »

und dann ist..
$\begin{eqnarray*} (3n+2)! = (3n+2)\cdot(3n+1)\cdot3n\cdot(3n-1)! \end{eqnarray*}$ ??

15.02.2007, 08:53

klarsoweit

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Auch richtig.

15.02.2007, 08:54

Cru

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub jetzt hab ich es!
Danke...

15.02.2007, 09:11

Cru

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Ich hab doch noch paar fragen!
$\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} (3n)! = (3(n+1))! = (3n+3)! \end{eqnarray*}$ oder?
was ist dann
$\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} (2n+1)! = ((2n+1)+1)! = (2n+2)! \end{eqnarray*}$
bin mir nicht sicher, ob ich die +1 nicht erst mal 2 rechnen muss! Also..
$\begin{eqnarray*} (2n+1)! = ((2n+1)+1)! = (2n+3)! \end{eqnarray*}$

mmhh verwirrt

verwirrt

15.02.2007, 09:26

klarsoweit

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Also die Schreibweise ist etwas verquer. Schließlich ist nicht $\begin{eqnarray*} (3n)! = (3n+3)! \end{eqnarray*}$

Folgendes kann man sagen:
$\begin{eqnarray*} a_n = (3n)! \Rightarrow a_{n+1} = (3n+3)! \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} a_n = (2n+1)! \Rightarrow a_{n+1} = (2n+3)! \end{eqnarray*}$

Dabei wird einfach jedes n durch (n+1) ersetzt.

15.02.2007, 09:34

Cru

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also die Schreibweise ist etwas verquer. Schließlich ist nicht $\begin{eqnarray*} (3n)! = (3n+3)! \end{eqnarray*}$

Folgendes kann man sagen:
$\begin{eqnarray*} a_n = (3n)! \Rightarrow a_{n+1} = (3n+3)! \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} a_n = (2n+1)! \Rightarrow a_{n+1} = (2n+3)! \end{eqnarray*}$

Dabei wird einfach jedes n durch (n+1) ersetzt.

Dabei wird einfach jedes n durch (n+1) ersetzt. Alles klar...jetzt hat es wieder klick gemacht!
Danke

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