Grenzwert des ln für x gegen 0+

12.01.2013, 12:04

Potenzreihe

Grenzwert des ln für x gegen 0+

Meine Frage:
Hallo,

ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+}} ln(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Der $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} ln(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ .

Ich muss also folgendes berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+}} \left[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1}\right] \end{eqnarray*}$

Doch wie stelle ich das an? Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen smile

12.01.2013, 14:57

Potenzreihe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert des ln für x gegen 0+
Kann mir jemand vielleicht einen kleinen Tipp geben, mir leuchtet nicht genau ein, wie ein Grenzwert für eine unendliche Reihe auszusehen hat.

12.01.2013, 22:18

Potenzreihe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert des ln für x gegen 0+
Frage falsch formuliert? Oder weiß wirklich niemand die Lösung für diese Aufgabe? Ich erwarte hier keinen Lösungsweg, einfach einen Hinweis - darüber würde ich mich sehr freuen Augenzwinkern

12.01.2013, 23:27

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert des ln für x gegen 0+
Musst du diese Reihe benutzen?
Was weißt du denn über den Logarithmus bzw. was darfst du benutzen?
Vielleicht hilft dir schon die Beziehung $\begin{eqnarray*} \ln x = - \ln(1/x) \end{eqnarray*}$

12.01.2013, 23:32

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Ansonsten versuch doch einfach die Divergenz der Reihe für x=0 zu zeigen.

12.01.2013, 23:38

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

@Herlferlein: Reicht das? verwirrt

Ich denke an die geometrische Reihe, die auch für x=-1 divergiert während ihre Grenzfunktion an der Stelle harmlos ist.

13.01.2013, 09:32

Potenzreihe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Ansonsten versuch doch einfach die Divergenz der Reihe für x=0 zu zeigen.

Hallo, danke für deine Antwort.
Und wie tue ich das? Allgemein divergiert die Reihe ja nicht. Wie kann ich hier Divergenz zeigen?

13.01.2013, 15:30

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du denn schon eingesetzt? Die Divergenz ist dann recht offensichtlich, da wir eine etwas verstecktere harmonische Reihe vorliegen haben.
Der Einwand von URL ist aber völlig berechtigt: Die Divergenz reicht nur dann aus, wenn zusätzlich gezeigt wird, dass die Reihe gleichmässig konvergiert und das könnte sich als Stolperstein herausstellen.

13.01.2013, 15:53

wubi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert des ln für x gegen 0+
Ich mag die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0} \end{eqnarray*}$ lieber. Man spart ja ein Zeichen an Schreibarbeit.
Das ist völlig ausschlaggebend.

Hier bietet sich doch auch
$\begin{eqnarray*} \ln(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{x^h-1}{h} \end{eqnarray*}$
an.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert des ln für x gegen 0+

Verwandte Themen