Punkte auf Gerade

Neue Frage »

12.01.2013, 12:29	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte auf Gerade Wie zeigt man ob sich 4 Punkte in $\begin{eqnarray} \mathbb{K}P^1 \end{eqnarray}$ auf einer proj. Gerade befinden? $\begin{eqnarray} P_0 =[1:2], P_1=[3:4], P_2 =[5:6], P_3 = [7:8] \end{eqnarray}$ ALso Die 4 Teilräume, ruch die die 4 proj. Punkte defeniert werden: $\begin{eqnarray} U_0= \{ \lambda (1,2) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1= \{ \lambda * (3,4) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2= \{ \lambda * (5,6) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_3= \{ \lambda * (7,8) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ Da (1,2) und (3,4) linear unab sind, spannen $\begin{eqnarray} U_1, U_2 \end{eqnarray}$ eine Ebene auf . Reicht es nun zu zeigen dass $\begin{eqnarray} \exists \lambda, \mu \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} (5,6) = \lambda * (1,2) + \mu (3,4) und \exists \lambda' , \mu' : (7,8) = \lambda' * (1,2) + \mu' (3,4) \end{eqnarray*}$
12.01.2013, 12:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte auf Gerade Aber $\begin{eqnarray} \mathbb R\mathrm P^1 \end{eqnarray}$ ist doch eine projektive Gerade
12.01.2013, 13:53	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Ich soll eigentlich das Doppelverhältnis der folgenden Punkte in $\begin{eqnarray} \mathbb{K}P^1 \end{eqnarray}$ bestimmen Wir haben das Doppelverhältnis defeniert für vier Punlte die auf einer projektiven Gerade liegen und $\begin{eqnarray} P_0, P_1, P_2 \end{eqnarray}$ verschieden sind
12.01.2013, 14:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann kannst du das Doppelverhältnis ja direkt ausrechnen. (dass die vier Punkte verschieden sind, ist wohl klar.
12.01.2013, 14:56	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay.Also einfach in Formel einsetzen. Ich habe noch so ein Bsp.: Zeige dass die Punkte $\begin{eqnarray} P_0 =[1:1:0], P_1=[0:1:1], P_2 =[1:2:1], P_3 = [1:0:-1] \end{eqnarray}$ auf einer proj Geraden in $\begin{eqnarray} \mathbb{K} P^2 \end{eqnarray}$ liegen und bestimme das Doppelverhältnis. ZZ.: Punkte auf einer proj Geraden in $\begin{eqnarray} \mathbb{K} P^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_0= \{ \lambda (1,1,0) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1= \{ \lambda * (0,1,1) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2= \{ \lambda * (1,2,1) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_3= \{ \lambda * (1,0,-1) \in \mathbb{R}^2: \lambda \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1,1,0), (0,1,1) \end{eqnarray}$ sind linear unab.-> U_1, U_0 spannen Ebene auf und es existieren Linearkomb von $\begin{eqnarray} (1,1,0), (0,1,1) \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} (1,2,1),(1,0,-1) \end{eqnarray}$ darstellbar sind. Richtig begründet? Zu Doppelverhätlnis: Unsere def.:Seien $\begin{eqnarray} P_0, P_1, P_2 , P_2 \end{eqnarray}$ vier Punkte auf einer projektiven Geraden G, sodass $\begin{eqnarray} P_0, P_1 , P_2 \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind. Weeters sei $\begin{eqnarray} \pi: \mathbb{K}P^1 -> G \end{eqnarray}$ die eindeutige projektive Abbildung mit $\begin{eqnarray} \pi([1:0])=P_0, \pi([0:1])=P_1 , \pi([1:1])=P_2 \end{eqnarray}$ Bezeichnet $\begin{eqnarray} [x_0:x_1] \in \mathbb{K}P^2 \end{eqnarray}$ jenen Punkt mit $\begin{eqnarray} \pi([x_0:x_1]) = P_3 \end{eqnarray}$ dann wird $\begin{eqnarray} DV(P_0,P_1,P_2,P_3):= x_1/ x_0 \in \mathbb{K} \cup \infty \end{eqnarray}$ Vermöge der EInbettung $\begin{eqnarray} \mathbb{K}^2 \subseteq \mathbb{K}P^2 , x-> [1:x_1:x_2] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{K}^2=\mathbb{K} \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ .. diese EInbettung $\begin{eqnarray} \pi([1:0])=P_0, \pi([0:1])=P_3, \end{eqnarray}$ aber es ist nicht $\begin{eqnarray} \pi([1:1])=P_2 \end{eqnarray}$ und auch nicht $\begin{eqnarray} \pi([1:1])=P_1 \end{eqnarray*}$ Wie mach ich das?
12.01.2013, 14:58	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Aubessern: Vermöge der EInbettung $\begin{eqnarray} \mathbb{K}^2 \subseteq \mathbb{K}P^2 , x-> [1:x_1:x_2] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb{K} P^2=\mathbb{K}^2 \cup \{\infty\} \end{eqnarray}$
Anzeige

12.01.2013, 15:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst eigentlich nur eine lineare Abbildung, die $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (1,1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,1,1) \end{eqnarray}$ abbildet.
12.01.2013, 15:21	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bitte noch darum zu sagen ob der Beweis für Punkte auf einer proj Geraden in $\begin{eqnarray} \mathbb{K} P^2 \end{eqnarray}$ stimmt. Wie finde ich denn so eine Abbildung?Mit der Standarteinbettung funktioniert das nicht?
12.01.2013, 15:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte die Linearkombination höchstens noch angeben, aber ja, so kann man zeigen, dass alle vier Punkte auf einer Geraden liegen. Zur Abbildung: Sei kreativ...
12.01.2013, 16:11	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Abb.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 1 & 1 \\0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber die Abbildung ist doch auf 3 Punkten vorgegeben wie in der definition? Ich glaub ich verstehe das noch nicht ganz.
12.01.2013, 16:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst sie ja mal auf $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ wirken lassen und sehen, ob das richtige herauskommt.
12.01.2013, 16:22	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber wieso? DIe Abb wird doch durch 3 Punkte charakterisiert wieso ist sie indem fall aber schon durch 2 Punkte eindeutig charakterisiert?
12.01.2013, 16:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist sie gar nicht, man hätte auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&0\\1&2\\0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wählen können. Wir hatten "Glück", dass die intutive Variante auch gleich zum dritten Punkt passt.
12.01.2013, 16:36	rose-de-jaspe	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, okay dann vielen lieben Dank Der Rest ist dann auch schnell gemacht ;D

Neue Frage »

Antworten »

Punkte auf Gerade

Verwandte Themen