Allgemeine Eigenwerte einer 2x2-Matrix

12.01.2013, 14:42

Diweex

Allgemeine Eigenwerte einer 2x2-Matrix

So hallo Leute. Ich habe folgendes Problem:

Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ un daraus soll ich nun die Eigenwerte in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen. Soweit so gut, ich starte also mal damit das charakteristische Polynom zu bilden:
$\begin{eqnarray*} det(A- \lambda E)=det \begin{pmatrix} a-\lambda &b \\ c &d-\lambda \end{pmatrix} =(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^{2}-\lambda(a+d)+ad-bc \end{eqnarray*}$
So dieses noch in die Mitternachstformel einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}=\frac{(a+d)+-((a+d)^{2} -4(ad-bc))^{0,5}}{2}=\frac{(a+d)+-(a^{2}-2ad+d^{2}+4bc)^{0,5}}{2}=\frac{(a+d)+-((a-d)^{2} +4bc))^{0,5}}{2} \end{eqnarray*}$
Alles klar soweit bisher hoffe ich einfach, habe ich alles richtig umgeformt.
Nun nach dieser Formel sollte nun gelten, dass es keine Eigenwerte gibt wenn $\begin{eqnarray*} (a-d)^{2}<-4bc \end{eqnarray*}$
Seltsam dachte ich mir und ich bastelte mir eine Matrix, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 10 &-1\\ 2 &9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die diese Bedingung erfüllt.
So jetzt bekomme ich aber für diese Matrix 2 wunderbar reelle Eigenwerte, und somit kann ich auch meine herleitung im oberen Teil eigentlich schon in die Tonne treten.
Mich beschleicht das Gefühl irgendwo hat sich da ein kleiner Fehler eingeschlichen, sitz jedoch jetzt schon ne Stunde vor diesem Problem und kann ihn einfach nicht finden.

gruß

diweex

btw: wie macht man das +/- Zeichen und eine Wurzel in Latex?

12.01.2013, 14:49

Monoid

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RE: Allgemeine Eigenwerte einer 2x2-Matrix
Das ist richtig. Aber hast du dir schonmal überlegt, dass ein Quadrat einer reellen Zahl stets 0 oder positiv ist?

Denn -4bc ist negativ oder im Fall b=c=0 eben 0.

12.01.2013, 14:56

Diweex

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Das ein Quadrat einer reellen Zahl < oder gleich 0 ist klar, aber warum sollte -4bc kleiner Null sein? verwirrt

Für zb b=-1 und c=2 ergibt sich -4bc=8

12.01.2013, 14:57

Che Netzer

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RE: Allgemeine Eigenwerte einer 2x2-Matrix

Zitat:

Original von Diweex
Seltsam dachte ich mir und ich bastelte mir eine Matrix, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 10 &-1\\ 2 &9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die diese Bedingung erfüllt.
So jetzt bekomme ich aber für diese Matrix 2 wunderbar reelle Eigenwerte

Welche beiden denn?

12.01.2013, 15:00

Monoid

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In Quadrat einer reellen Zahl ist > oder gleich 0.
Stimmt beim anderen hast du Recht. Ich war dummerweise auf positive Zahlen fixiziert, Entschuldigung.

12.01.2013, 15:05

Diweex

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Bei der Selbstgewählten Matrix komm ich auf $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=11 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=8 \end{eqnarray*}$

Zitat:

In Quadrat einer reellen Zahl ist > oder gleich 0.

Ups ja hab mich oben nur verschrieben >0 klar.

gruß

diweex

12.01.2013, 15:09

Che Netzer

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Es ist aber $\begin{eqnarray*} B-8I=\begin{pmatrix}2&-1\\2&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das ist durchaus invertierbar.

12.01.2013, 15:19

Diweex

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Ich nehme an, mit I meinst du die Einheitsmatrix.
Der Zusammenhang zwischen invertierbar und Eigenwerten entzieht sich (noch Augenzwinkern

) meinen Kenntnissen.
Aber ich nehme mal an, du willst mir mitteilen, dass meine Eigenwerte für die Bsp Aufgabe falsch sind?

gruß

diweex

12.01.2013, 15:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von Diweex
Der Zusammenhang zwischen invertierbar und Eigenwerten entzieht sich (noch Augenzwinkern

) meinen Kenntnissen.

Dann kann ich dir ja schonmal folgendes verraten:
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist genau dann Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ (oder wieauchimmer eure Einheitsmatrix heißt) nicht invertierbar ist. Denn es ist ja $\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda I)=0 \end{eqnarray*}$ .
Oder: Wenn es einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$ gibt.

Zitat:

Aber ich nehme mal an, du willst mir mitteilen, dass meine Eigenwerte für die Bsp Aufgabe falsch sind?

Genau, die sind nämlich komplex.

12.01.2013, 15:36

Diweex

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Hmm wenn ich aber das charkteristische Polynom bilde $\begin{eqnarray*} p(\lambda)=88+\lambda^{2}-19\lambda \end{eqnarray*}$
erhalte ich dann als Diskriminante den Wert +9, welcher im Reellen auch eine Wurzel bildet. Ich müsste also gar nicht ins komplexe "ausweichen" oder?

gruß

diweex

/edit: ah da liegt mein Fehler. Es soll nicht 90-2 sondern 90-(-2) sein. Dann gehts natürlich ab ins komplexe. Danke für die Hilfe Freude

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