Tschebycheff-Ungleichung

12.01.2013, 15:16

Jackjuan

Tschebycheff-Ungleichung

Meine Frage:
Hallo
Bekanntermaßen lautet die Tschebycheff ungleichung
P[|X ? E[X]| ? t] ? Var[X]* 1/t²

Die Aufgabe lautet:
Vin einem bestimmten Würfel wird behauptet, dass bei ihm die 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/5 statt 1/6 erscheint.
Zur Überprüfung soll die Anzahl S_n des Auftretens der 1 bei n Würfen ermittelt werden und damit die relative Häufigkeit S_n/n der 1 berechnet werden.
Unter der Voraussetzung das der Würfel tatsächlich die Behauptete Eigenschaft hat löse man folgende Aufgabe

a) Geben Sie durch die Tschebycheff-Ungleichung eine untere Schranke für die Wahscheinlichkeit P für ein t an.

Meine Ideen:
zunächt müsste mit
X=S_n/n und E[x]=1/5

P[|S_n/n - 1/5|? t]? Var [x] * 1/t² gelten.

Nun wäre ein normaler Würfel Binomialverteilt und somit ließe sich dann dann das schwache Gesetz der gr Zahlen anwenden. ..
Dies würde mich für den rechten Teil der Ungleichung etwas weiter bringen, es soll aber davon ausgegangen werden dass diese Verteilung nicht gilt. oder?

Weiter frage ich mich wie ich mit dem rechten Teil der ungleichung umgehen soll, da ich schließlich nur sehr wenig angaben habe.

danke

12.01.2013, 15:44

Math1986

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RE: Tschebycheff-Ungleichung
Bitte beachte Wie kann man Formeln schreiben?
$\begin{eqnarray*} P\left(|X - E\left(X\right)| \geq t\right) \leq\frac{Var\left(X\right)}{t^2} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe dein Problem nicht:

1) In der Aufgabe steht klar und eindeutig:

Zitat:

Unter der Voraussetzung das der Würfel tatsächlich die Behauptete Eigenschaft hat löse man folgende Aufgabe

Es ist also davon auszugehen, dass der Würfel tatsächlich binomialverteilt ist mit p=1/5.

2) Das schwache Gesetz der großen Zahlen hat hiermit nichts zu tun, du sollst die Ungleichung von Tschebyschow anwenden. Diese ist übrigens auf jede Verteilung mit existierendem Erwartungswert und Varianz anwendbar.

3) Auf der rechten Seite der ungleichung kannst du einfach die Varianz ausrechnen. t ist unbekannt, aber genau danach wird ja auch gefragt (bzw nach einer unteren Schranke hierfür.

12.01.2013, 16:20

Jackjuan

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RE: Tschebycheff-Ungleichung
Das mit der Formel ist korrekt, hab die Latex fkt erst später gesehen

Erstmal danke für deine Antwort,
aber nun frage ich mich ob du meinst, dass dann alle Zahlen des Würfels die Wahrscheinlichkeit 1/5 hätten.
Dann würde ich ja die Gesamtwahrscheinlichkeit von 6*1/5 bekommen.

Wenn das trotzdem geht, bekomme ich

$\begin{eqnarray*} P\left(|S_n/n - 1/5| \geq t\right) \leq\frac{{4n}}{25t^2} \end{eqnarray*}$

oder?

aber n ist ja auch unbekannt.

12.01.2013, 16:32

Math1986

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RE: Tschebycheff-Ungleichung

Zitat:

Original von Jackjuan
Das mit der Formel ist korrekt, hab die Latex fkt erst später gesehen

Erstmal danke für deine Antwort,
aber nun frage ich mich ob du meinst, dass dann alle Zahlen des Würfels die Wahrscheinlichkeit 1/5 hätten.

Nein, das meine ich nicht.

Bitte Aufgabenstellung aufmerksam lesen:

Zitat:

Vin einem bestimmten Würfel wird behauptet, dass bei ihm die 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/5 statt 1/6 erscheint.

D.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/5 wird eine "1" geworfen, bzw mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/5 wird irgendeuine andere zahl geworfen.

Also ist hier eine Binomialverteilung anbebracht.

12.01.2013, 16:49

Jackjuan

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RE: Tschebycheff-Ungleichung
Ja habs falsch aufgeschrieben aber in der Formel ja richtig eingesetzt indem bei mir p=1/5 und 1-p=4/5 also die gegenwahrscheinlichkeit ist.

Gut dann hab ich die Formel

$\begin{eqnarray*} P\left(|S_n/n - 1/5| \geq t\right) \leq\frac{{4n}}{25t^2} \end{eqnarray*}$

und jetzt?

sry

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