Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen

12.01.2013, 17:08

daniel22

Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \vec{R}=\begin{pmatrix} cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss zu dieser Matrix die Inverse, Orthogonaltität überprüfen sowie überprüfen ob die Matrix symmetrisch oder schiefsymmetrisch ist.

12.01.2013, 17:11

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Na dann fang mal an...

12.01.2013, 18:25

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x11 & x12 \\ x21 & x22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss ich für die Inverse zu berechnen dieses Gleichungssystem lösen?

12.01.2013, 18:27

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Überlege dir lieber, welche anschauliche Bedeutung die Rotationsmatrix hat und was die anschauliche Umkehrung davon sein müsste. Dann stelle die zugehörige Matrix auf und teste, ob das die Inverse ist.

12.01.2013, 18:35

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Komm mit dieser Aufgabe nicht ganz klar.
Wären das einfach Zahlen, also eine normale Matrix, könnte ich das Lösen.
Das irritiert mich.

12.01.2013, 18:36

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Aha.
Aber hast du dir mal die Anschauung klargemacht? Ihr habt doch sicher erklärt bekommt, was die Rotationsmatrix mit einem Vektor macht, wenn man sie dranmultipliziert.

12.01.2013, 18:42

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Habe gerade in meinem Skript nachgeschaut und hab rein garnichts gefunden.
Den Rest der Aufgaben konnte ich Lösen.

12.01.2013, 18:45

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Na gut, dann erkläre ich das kurz: Wenn du die angegebene Rotationsmatrix (von links) an einen Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ multiplizierst, wird dieser um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Uhrzeigersinn gedreht.
Die Matrix steht also für Rotation um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Mit welcher Operation könnte man dies umkehren?

Da du aber wohl keine anschauliche Erklärung bekommen hast: Kennst du eine allgemeine Formel zur Invertierung von $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen?

12.01.2013, 18:49

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen

Zitat:

Original von daniel22
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\alpha & sin\alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x11 & x12 \\ x21 & x22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss ich für die Inverse zu berechnen dieses Gleichungssystem lösen?

Hab die anderen Inversen so gerechnet. Einfach das Gleichungssystem gelöst.

12.01.2013, 18:52

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Na schön, dann mach es so [attach]24103[/attach]

12.01.2013, 19:06

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Also ich mein jetzt nicht mit sin und cos, sondern wenn dort normale Zahlen drin stehen würden.
So hab ich das bei den anderen Matritzen gemacht und hat geklappt

12.01.2013, 19:08

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Etwas wie $\begin{eqnarray*} \cos\alpha \end{eqnarray*}$ ist eine normale Zahl.

Vielleicht aber doch so:

Zitat:

Kennst du eine allgemeine Formel zur Invertierung von $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen?

12.01.2013, 19:18

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Meinst du so?
Aber mit dem Gleichungssystem geht das doch auch.

$\begin{eqnarray*} \vec{A^{-1}}= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{det(A)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.01.2013, 19:26

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Na also, das sieht doch schon viel schöner aus.
Jetzt wende das mal auf die Rotationsmatrix an.

12.01.2013, 20:03

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Habs so gemacht. Also die Determinante kann nicht 0 werden also hat sie eine Inverse.
Aber wie fasse ich die Inverse jetzt noch weiter zusammen?

12.01.2013, 20:06

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Ah ich habs verstanden.
Der Nenner ergibt 1. Somit hab ich die Inverse

12.01.2013, 20:27

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Orthogonal ist sie auch nicht.
Symmetrisch und spiegelsymmetrisch ebenfalls nicht.
Ob sie schiefsymmetrisch ist, weis ich nicht. Da muss doch die Hauptdiagonale 0 sein, oder? Das ist ja nicht der Fall.

12.01.2013, 20:50

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Wie hast du denn die transponierte Matrix berechnet? Bzw. wie ist die Transponierte definiert?

Die Inverse stimmt jedenfalls schonmal.

12.01.2013, 20:57

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Die Zeile wird zur Spalte und die Spalte wird zur Zeile.
Stimmt sonst alles?

12.01.2013, 21:09

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Ja, die Matrix wird sozusagen an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Entsprechend hast du die Transponierte auch falsch berechnet.

12.01.2013, 21:37

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...=20121005200415

Hier ist das gut zu sehen.
Stimmt doch was ich gemacht habe, oder?

12.01.2013, 21:39

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Nein, du hast die beiden Zeilen vertauscht.

12.01.2013, 21:48

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Achso. Sorry. Jetzt weis ich was du meinst.

$\begin{eqnarray*} \vec{R}T= \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber symmetrisch, spiegelsymmetrisch oder schiefsymmetrisch ist die Matrix aber trotzdem nicht, oder?

12.01.2013, 21:52

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Was verstehst du denn unter "spiegelsymmetrisch"?
Und worin unterscheidet sich denn die Transponierte von der Inversen?

12.01.2013, 22:15

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Also orthogonal ist sie jetzt mal.

Spiegelsymmetrisch heißt, dass zur Hauptdiagonale gespiegelt alles gleich ist.
Also die obere zur unteren Dreiecksmatrix ist gleich.
Aber in meinem Beispiel stehn auf der Diagonale keine einsen, deshalb nicht spiegelsymmetrisch.

12.01.2013, 22:27

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Könntest du vielleicht die formale Definition von "symmetrisch" und von "spiegelsymmetrisch" nennen, die ihr benutzt? Aus deiner Erklärung kann ich keine sinnvolle Definition erkennen.

12.01.2013, 22:30

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Eine quadratische Matrix, die mit ihrer Transponierten identisch ist, wird symmetrisch genannt.
Die Elemente einer symmetrischen Matrix sind spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonalen.

12.01.2013, 22:40

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Ah, dann habt ihr den Begriff "spiegelsymmetrisch" also gar nicht für Matrizen definiert. Das ergibt schon mehr Sinn.

Dann vergleiche mal Inverse und Transponierte. Sind die immer verschieden?

13.01.2013, 00:55

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Die Inverse ist ja hier in dem Beispiel gleich der Transponierten.
Also orthogonal.
Aber symmetrisch und schiefsymmetrisch ist die Matrix jetzt nicht?
Muss das bis am Montag morgen wissen.
Und warum soll der Begriff "Spiegelsymmetrisch" nicht für Matritzen definiert sein?
Hab doch geschrieben, dass das für die Matrix gilt?!

13.01.2013, 10:51

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen

Zitat:

Original von daniel22
Aber symmetrisch und schiefsymmetrisch ist die Matrix jetzt nicht?

Wieso nicht? Gibt es vielleicht Fälle, in denen sie das doch ist?

Zitat:

Und warum soll der Begriff "Spiegelsymmetrisch" nicht für Matritzen definiert sein?
Hab doch geschrieben, dass das für die Matrix gilt?!

Na gut: Wann genau ist denn eine Matrix spiegelsymmetrisch? Du hast "spiegelsymmetrisch" nur für deren Einträge verwendet.

13.01.2013, 12:30

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Das ist eine spiegelsymmetrische 2x2 Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das z.B. eine schiefsymmetrische Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.01.2013, 12:41

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Die erste ist eine symmetrische Matrix. Die Matrixeinträge sind spiegelsymmetrisch angeordnet, wenn man das so sagen möchte.

13.01.2013, 12:43

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Achso okay.

Also ist bei meiner Matrix jetzt nichts symmetrisch bzw schiefsymmetrisch.

13.01.2013, 12:45

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Schreibe doch mal genau auf, was gelten müsste, damit die betrachtete Matrix symmetrisch ist.

13.01.2013, 12:56

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Das wäre dann symmetrisch.

$\begin{eqnarray*} \vec{R}^{T}=\vec{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{R}^{T}= \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{R}= \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.01.2013, 13:02

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Da ist wohl ein Vorzeichen durcheinandergeraten.
Kann denn die Gleichung
$\begin{eqnarray*} R^{\mathrm T}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}=R \end{eqnarray*}$
erfüllt sein?

13.01.2013, 13:15

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Kann doch nicht gleich sein, denn das -sin ist ja an einer anderen Stelle.

13.01.2013, 13:18

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Welche Bedingung müsste denn erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} R^{\mathrm T}=R \end{eqnarray*}$ wäre? Das lässt sich in einer Gleichung sagen.

13.01.2013, 13:27

daniel22

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Keine Ahnung.
Weis nur, dass das -sin an die gleiche Stelle müsste.
Muss jetzt noch für was anderes lernen. unglücklich

13.01.2013, 13:33

Che Netzer

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RE: Inverse, Orthogonalität und Symmetrie der Rotationsmatrix bestimmen
Für Symmetrie müssten die "Sinus-Einträge" beider Matrizen übereinstimmen, d.h. es müsste
$\begin{eqnarray*} \sin\alpha=-\sin\alpha \end{eqnarray*}$
gelten.
Das dürfte klar sein. Jetzt kannst du auch formal begründen, ob/wann die Matrix symmetrisch ist.

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