Das Baseler Problem

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Das Baseler Problem
Meine Frage:
Hallo, ich hoffe Ihr hattet einen schönen Tag, wenn mir jemand helfen könnte, täte er/sie mir einen großen Gefallen. Großes Dankeschön.

Die Aufgabe: Ein mathematisches Problem, das zuest 1644 von Pietro Mengoli formuliert wurde und 1735 von Leonard Euler gelöst wurde ist die Frage nach dem Wert der Summe der reziproken Quadratzahlen - oder einfacher ausgedrückt die Frage nach dem Wert der folgenden Reihe:



Mit Hilfe der Fourier-Reihe der Funktion f(x)=-x lässt sich dieser Wert bestimmen.

a) Finden Sie die Koeffizienten der Fourier-Reihe für die Funktion


Die Parseval-Identität besagt ja, dass

b) Wenden Sie die Parseval-Identität auf unsere FUnktion an, werten Sie alle Terme so weit wie möglich aus und berechnen Sie das auftretende Integral.

c) Welchen Wert erhalten Sie nun für das Baseler Problem? Beachten Sie die Grenzen der Summen.

Meine Ideen:
Also vorweg muss ich sagen, dass mein Prof sich mit der Erklärung von Fourier-Reihen schwer getan hat. Nun fangen wir chronologisch mit der a) an.
Gesucht sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe für die Funktion Wie kann ich dies mittels Parseval-Identität tun ?
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RE: Das Baseler Problem
Ich würde sagen, Parseval kommt ins Spiel, nachdem du die Koeffizienten berechnet hast.
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Ok und wie berechne ich die Koeffizienten ?
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RE: Das Baseler Problem
Das wird doch wohl in der Vorlesung dran gewesen sein verwirrt
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Zitat:
Original von Womanpower

Meine Ideen:
Also vorweg muss ich sagen, dass mein Prof sich mit der Erklärung von Fourier-Reihen schwer getan hat. Nun fangen wir chronologisch mit der a) an.
Gesucht sind die Koeffizienten der Fourier-Reihe für die Funktion Wie kann ich dies mittels Parseval-Identität tun ?
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RE: Das Baseler Problem
@Alexandra Ardanex: Ja, und? Sich schwer tun ist eine Sache. Aber Fourier-Reihen ohne Definition der Fourierkoeffizienten einführen? Wie soll das denn bitte gehen? verwirrt
 
 
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Ich verstehe das einfach nicht. Einige Tipps wäre wirklich hilfreich, damit ich erstmal die Koeffizienten bestimmen kann.
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RE: Das Baseler Problem
Fourierreihen kann man im wesentlichen auf zwei Arten betrachten: Reell oder komplex
Im reellen Fall sieht es im wesentlichen so aus
im komplexen .
Ich vermute bei euch war es letzteres. Bitte schreib auf, wie ihr das in der Vorlesung definiert habt, dann kann ich dir weiter helfen, sonst nicht.
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Wir haben beides durchgenommen, wobei ich die Unterschiede zwischen Fourierpolynomen, Fourieranalyse, Fouriertrafo und Fourierreihe nicht verstehe, genauso wie was woraus abgeleitet wird/entspringt, wozu noch die Delta-Distribution hinzukommt und wir schon bei Differentialgleichungen sind und man einfach hier das Zitat bringen kann "Ist halt so". Wieso, weshalb, warum weiß keiner man kann es nur beweisen bzw. widerlegen. Naja mir würde reichen, wenn ich wüsste was zu tun ist.
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RE: Das Baseler Problem
Zitat:
Original von URL
Bitte schreib auf, wie ihr das in der Vorlesung definiert habt, dann kann ich dir weiter helfen, sonst nicht.


Wenn du darauf aber partout keine Lust hast - warum auch immer - berechne die Integrale . Daraus kann man in jedem Fall etwas machen.
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Fouriereihen:





Die Koeffizienten der Entwicklung von f sind:

für (alle geraden Funktionen) weiß nicht wie ich das auf anhieb sehen soll



und für alle (ungeraden Funktionen)

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RE: Das Baseler Problem
Das ist jetzt die reelle Variante der Fourierreihe. Die angegebene Parseval-Identität passt nicht so recht dazu, denn die ist für die komplexe Darstellung. Habt ihr auch eine reelle Variante der Parseval-Identität? Etwas in der Art

Zwei Möglichkeiten: Wir machen alles reell, dann brauchen wir aber eine andere Parseval-Identität. Vielleicht hast du die, sonst lasse ich sie vom Himmel fallen. Oder wir machen alles komplex. Wie möchtest du weiter machen? Entscheiden Sie sich jetzt Augenzwinkern

Die angegebenen , das sind übrigens gerade die reellen Fourierkoeffizienten, sind so nicht richtig. Statt der Addition gehört eine Multiplikation hin, und bei den b_k der sinus; es muss also heißen



ist die Periode unserer Funktion . Hier ist auf definiert (und wird stillschweigend als periodisch fortgesetzt angenommen) Deshalb ist , also die Länge des Intervalles. Damit ist dann . Das c in der Integrationsgrenze kann man beliebig wählen. Ich nehme . Warum wirst du sehen, wenn wir das ganze reell machen.
Vielleicht kannst du jetzt mal für unser aufschreiben.
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Zitat:
Original von URL
Das ist jetzt die reelle Variante der Fourierreihe. Die angegebene Parseval-Identität passt nicht so recht dazu, denn die ist für die komplexe Darstellung. Habt ihr auch eine reelle Variante der Parseval-Identität? Etwas in der Art


Das habe ich so in meinen Unterlagen nicht gefunden, aber ich habe die komplexe Form gefunden (nen Blatt ist mir hinter meinen Schreibtisch gefallen).


Wobei


Meistens wird gewählt. Damit erhalten wir:
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RE: Das Baseler Problem
Das ist ulkig, denn bei dieser Definition der komplexen Fourierkoeffizienten c_n muss die Parseval-Identiät anders aussehen, wenn ich mich recht erinnere. Aber das werden wir bald herausfinden. Wir - also du - rechnen jetzt mal los.
In unserem Fall ist , wie ich vorhin schon sagte. Wenn du das einsetzt, bekommst du .
Kannst du das Integral für die gegebene Funktion und ausrechnen?
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das Baseler Problem
Zitat:
Original von URL
Kannst du das Integral für die gegebene Funktion und ausrechnen?


also muss ich für die Funktion einsetzen in das Integral ? Und unsere Funktion lautet
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RE: Das Baseler Problem
Genau Freude
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