Hölder-Stetigkeit

13.01.2013, 01:58

Anahita

Hölder-Stetigkeit

Hi

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ offen und zusammenhängend und $\begin{eqnarray*} f: R^{n} \rightarrow R \end{eqnarray*}$ . f heisst hölder-stetig mit Exponent $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und Konstante $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ wenn für $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in \Omega \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(y) | \leq C| x-y |^{\alpha} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: Sei f hölder-stetig mit Exponent $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, dann ist f auch mit $\begin{eqnarray*} 0 <\beta \leq \alpha \end{eqnarray*}$ hölder-stetig.

Ich hab leider keinen guten Ansatz...Wenn es für alle x, y aus Omega eine obere Schranke gibt, dann auch für x-y? Gilt für beta <= alpha nicht auch sofort, dass C*abs(x-y)^beta <= C*abs(x-y)^alpha und die Aufgabe ist gelöst?

Vielen Dank

A

13.01.2013, 02:20

qwert-Taste

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1. Du vergleichst einen Vektor mit einer Zahl.
2. x,y sind nach allen Richtungen hin beschränkt, du kannst also eine Abschätzung vornehmen

13.01.2013, 11:10

Anahita

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Zitat:

Original von qwert-Taste
1. Du vergleichst einen Vektor mit einer Zahl.

Inwiefern? Der Betrag von Vektoren (auf der linken Seite der Ungleichung) ist doch auch ein Skalar.

13.01.2013, 12:39

Anahita

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miau?

13.01.2013, 12:44

Che Netzer

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RE: Hölder-Stetigkeit

Zitat:

Original von Anahita
Gilt für beta <= alpha nicht auch sofort, dass C*abs(x-y)^beta <= C*abs(x-y)^alpha und die Aufgabe ist gelöst?

Erstens gilt das nur für $\begin{eqnarray*} \lvert x-y\rvert\geq1 \end{eqnarray*}$ und zweitens schätzt du damit ohnehin in die falsche Richtung ab.
Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} \alpha=\underbrace{(\alpha-\beta)}_{\geq0}+\beta \end{eqnarray*}$ könntest du aber weiterkommen.

13.01.2013, 13:03

Anahita

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Warum soll ich in die andere Richtung abschätzen? verwirrt

Will man nicht von $\begin{eqnarray*} C| x-y |^{\alpha} \end{eqnarray*}$ als obere Schranke Gebrauch machen...?

13.01.2013, 13:16

Che Netzer

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Du willst aber $\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-f(y)\rvert\leq C'\lvert x-y\rvert^\beta \end{eqnarray*}$ zeigen. Da bringt dir $\begin{eqnarray*} C\lvert x-y\rvert^\beta\leq C\lvert x-y\rvert^\alpha \end{eqnarray*}$ nichts.

13.01.2013, 17:20

Anahita

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washabichmirblossgedacht

Ok, dann ev. so:

$\begin{eqnarray*} | f(x)-f(y) | \leq C|x-y |^{\alpha} = C| x-y |^{\beta} | x-y |^{\alpha-\beta} \end{eqnarray*}$

und für ein C' mit $\begin{eqnarray*} C| x-y |^{\alpha-\beta} < C' \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in \Omega \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} | f(x)-f(y) | \leq C|x-y |^{\alpha} \leq C'|x-y |^{\beta} \end{eqnarray*}$

macht das Sinn?

Danke & lg

13.01.2013, 17:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von Anahita
und für ein C' mit $\begin{eqnarray*} | x-y |^{\alpha-\beta} < C' \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in \Omega \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} | f(x)-f(y) | \leq C|x-y |^{\alpha} \leq C'|x-y |^{\beta} \end{eqnarray*}$

Naja, das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist verschwunden, aber entscheidend ist: Wieso existiert dieses $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2013, 17:41

Anahita

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Korrigiert!

Omega ist per Annahme beschränkt - beschränkte Mengen in R haben ein Supremum.

Heisst das dann aber auch, dass die Mengen | x-y| und vor allem dann $\begin{eqnarray*} C| x-y| ^{\alpha-\beta} \end{eqnarray*}$ beschränkt sind? Doch wohl schon, mann könnte ja die obere Schranke immer entsprechend auch vergrössern (z.B. eben mit C multiplizieren), so dass man eine passende obere Schranke findet..oder?

13.01.2013, 17:48

Che Netzer

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Das stimmt alles, wichtig ist dabei aber, dass $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta \end{eqnarray*}$ nicht negativ ist.

13.01.2013, 18:09

Anahita

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ah ja, das wollte ich fragen, weil du das schon weiter oben hervorgehoben hast. Warum ist das denn wichtig?

13.01.2013, 18:57

Che Netzer

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Was könnte denn passieren, wenn es negativ wäre?
Wäre der Wert dann immer noch beschränkt?

13.01.2013, 19:57

Anahita

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Nein, dann hätten wir einen Bruch welcher für $\begin{eqnarray*} | x-y | \end{eqnarray*}$ gegen Null gegen Unendlich streben würde.
Thx!

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