[Intergralrechnung] Staumauer

13.01.2013, 12:57	Kräuterzuckerl	Auf diesen Beitrag antworten »
[Intergralrechnung] Staumauer Meine Frage: [attach]27803[/attach] Meine Ideen: Also ich hab mal die Breite für die tiefste bzw. höchste Stelle berechnet: $\begin{eqnarray} b(0)= \frac{0^2+40 \cdot 0 +3000}{150} = 20 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b(50)= \frac{50^2+40 \cdot 50 +3000}{150} = 50 \end{eqnarray}$ Also beträgt die oberste Fläche: $\begin{align} A_1 = 5010=500 \end{align}$ Und es beträgt die unterste Fläche: $\begin{align} A_1 = 2030=600 \end{align}$ Nun komm ich nicht weiter. Wie kann ich hier das Integral anwenden? Mir ist klar, dass es irgendwie mit linearen Abnahme zu tun hat. Kann mir jemand weiterhelfen? Danke!
13.01.2013, 13:46	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Intergralrechnung] Staumauer Du musst zuerst eine Funktion finden, welche die Dicke der Mauer in Abhängigkeit von der Höhe beschreibt. Nenne sie z. B. d(z). Da über den Verlauf der Dicke sonst nichts gesagt wird als Anfangs- und Endwert, kannst Du ihn linear annehmen. Das bedeutet, Du kannst von dieser Grundfunktion ausgehen: y = k*x + b Wenn Du die hast, ist die Querschnittsfläche für jede Höhe bekannt, denn die Funktion für den Verlauf der Breite ist ja gegeben.
13.01.2013, 15:14	Kräuterzuckerl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Intergralrechnung] Staumauer Danke für deine Antwort! Ich habe also $\begin{eqnarray} d(z) = k z + b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(50) = 50 k + b \Rightarrow 10 = 50 k + b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(10) = 0 k + b \Rightarrow 30 = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10 = 50k+30 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=-2/5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(z) = -2/5z+30 \end{eqnarray}$ Und wie integriere ich nun, dass ich auf das Volumen komme?
13.01.2013, 17:58	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Intergralrechnung] Staumauer Richtig. Du kennst also in der Staumauer für jede Höhe sowohl Breite als auch Dicke und kannst so jeden beliebigen Querschnitt berechnen. Nachdem dieser rechteckig angenommen werden kann, ist es leicht, die Fläche zu berechnen. Du bekommst für die Querschnittsfläche eine neue Funktion, z. B.: Q(z). Der Grundgedanke ist der, dass Du Dir den Körper aus unendlich vielen und unendlich dünnen Scheiben (= Querschnittsflächen) zusamengesetzt denken sollst. Die Summe all dieser Scheiben bzw. Flächen ergibt das Volumen. Was und wie ist jetzt zu integrieren?
13.01.2013, 18:59	Kräuterzuckerl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Intergralrechnung] Staumauer Ah ok! $\begin{eqnarray} O(z) = d(z) \cdot b(z)<br /> <br /> V=\int_a^b \! O(x) \, dx<br /> a=0, b=50 \end{eqnarray}$ passt das so?
13.01.2013, 20:05	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt so. Zur Kontrolle gleich mein Ergebnis: 29722m³.
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13.01.2013, 21:11	Kräuterzuckerl	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, hab ich auch Danke vielmals =)
13.01.2013, 21:22	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Nächstes Mal wieder.

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