Vollständige Induktion n*n!

13.01.2013, 16:20

jaykop

Vollständige Induktion n*n!

Hallo,
die untere Aufgabe wurde hier schon zwei mal besprochen jedoch habe ich dies immer noch nicht verstanden und will deshalb meine Lösung hier posten damit ich mit eurer Hilfe meine Fehler finde.

Beweise:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i\cdot i! = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

Meine unvollständige Lösung:

1.) Induktionsanfang: Setze für n=1 und für i=1 ein

$\begin{eqnarray*} 1\cdot 1! = (0+1)!-1 \Rightarrow 0= 0 \end{eqnarray*}$

2.) Induktionsschritt: Setze für alle n=n+1 ein

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i\cdot i! = ((n+1)+1)! -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i\cdot i! = (n+1) \cdot n! -1 \end{eqnarray*}$

// linke Seite aus der Summe ein n Glied rausziehen
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)!+\sum\limits_{i=1}^{n} i\cdot i! = ((n+1)+1)!-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)\cdot n!+\sum\limits_{i=1}^{n} i\cdot i! = ((n+1)+1)!-1 \end{eqnarray*}$

// Summe ersetzen durch die behauptung oben
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)\cdot n!+(n+1)!-1 = ((n+1)+1)!-1 \end{eqnarray*}$

// kürze (n+1) auf beiden Seiten
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot n!+(n+1)!-1 = n!-1 \end{eqnarray*}$

// So ab hier komme ich irgend wie nicht weiter. Kann mir einer da weiterhelfen ?

13.01.2013, 16:39

jaykop

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RE: Vollständige Induktion n*n!
In den letzten schritten habe ich noch ein Tipfehler und zwar sollte das so lauten. Sorry!

// Summe ersetzen durch die behauptung oben
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)\cdot n!+(n+1)!-1 = (n+1) \cdot n!-1 \end{eqnarray*}$

// kürze (n+1) auf beiden Seiten
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot n!+(n+1)!-1 = n!-1 \end{eqnarray*}$

14.01.2013, 01:41

10001000Nick1

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Wieso steht beim Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1!=(0+1)!-1? \end{eqnarray*}$ Da muss statt der 0 eine 1 hin, weil n=1 ist. Sonst stimmt die Gleichung auch gar nicht.

Dann hast du beim Induktionsschritt einen Fehler: Du hast $\begin{eqnarray*} ((n+1)+1)!-1 \end{eqnarray*}$ ersetzt durch $\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot n!-1. \end{eqnarray*}$ Es gilt jedoch: $\begin{eqnarray*} ((n+1)+1)!-1=((n+2)!-1=(n+2)\cdot (n+1) \cdot n!-1\neq (n+1)\cdot n!-1. \end{eqnarray*}$

Korrigier das nochmal, vielleicht kommst du ja dann auf die Lösung.

06.02.2013, 02:32

jaykop

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RE: Vollständige Induktion n*n!
Da mir letztens eingefallen ist das ich hier die Vollständige Lösung nicht eingetragen habe folgt jetzt die Lösung zu meiner Frage. Hoffe dass ich mich nicht vertippt habe und dies so richtig ist.

Beweise:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i\cdot i! = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

Meine unvollständige Lösung:

1.) Induktionsanfang: Setze für n=1 und für i=1 ein

$\begin{eqnarray*} 1\cdot 1! = (1+1)!-1 \Rightarrow 1=1 \end{eqnarray*}$

2.) Induktionsschritt: Setze für alle n=n+1 ein

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i\cdot i! = ((n+1)+1)! -1= (n+2)! -1 \end{eqnarray*}$

// links aus der Summe das letzte Glied rausziehen
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)!+\sum\limits_{i=1}^{n} i\cdot i! = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

// Summe ersetzen durch Behauptung
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)!+ (n+1)!-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\cdot ((n+1)\cdot+1)-1 = (n+2)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\cdot (n+2)-1 = (n+1)!\cdot(n+2)-1 \end{eqnarray*}$

// Jetzt kürzen durch $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+2)!-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

q.e.d

06.02.2013, 20:45

10001000Nick1

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RE: Vollständige Induktion n*n!

Zitat:

Original von jaykop

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\cdot ((n+1)\cdot+1)-1 = (n+2)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\cdot (n+2)-1 = (n+1)!\cdot(n+2)-1 \end{eqnarray*}$

// Jetzt kürzen durch $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+2)!-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

Da sind noch ein paar Fehler drin:

Es müsste heißen:
$\begin{eqnarray*} (n+1)! \cdot ((n+1) + 1)-1 = (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\cdot (n+2)-1 = (n+1)!\cdot(n+2)-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du erst auf beiden Seiten +1 rechnen, dann mit $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ kürzen.

$\begin{eqnarray*} (n+2) = (n+2) \end{eqnarray*}$

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