Differenz von Quadratzahlen

13.01.2013, 18:23

nicholas

Differenz von Quadratzahlen

Meine Frage:
Sei n eine quadratfreie, ungerade natürliche Zahl. Ermitteln Sie, auf wie viele verschiedene Weisen sich n als Differenz zweier Quadrate schreiben lässt.

Meine Ideen:
Also ich hab mir ein paar Beispiele angeguckt und bin darauf gekommen, dass es gerade $\begin{eqnarray*} 2^{s+1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Möglichkeiten über den ganzen Zahlen gibt, n als Differenz von zwei Quadraten zu schreiben, wobei s die Anzahl der Primteiler ist. Bei Primzahlen p ist es wohl so, dass nur
$\begin{eqnarray*} \frac{p+1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ (mit verschiedenen VZ) die einzigen Lösungen sind. Ich weiß allerdings nicht, wie man das beweisen sollte und wie man dann verallgemeinert.

15.01.2013, 10:27

Huggy

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RE: Differenz von Quadratzahlen

Zitat:

Original von nicholas
Meine Ideen:
Also ich hab mir ein paar Beispiele angeguckt und bin darauf gekommen, dass es gerade $\begin{eqnarray*} 2^{s+1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Möglichkeiten über den ganzen Zahlen gibt, n als Differenz von zwei Quadraten zu schreiben, wobei s die Anzahl der Primteiler ist. Bei Primzahlen p ist es wohl so, dass nur
$\begin{eqnarray*} \frac{p+1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ (mit verschiedenen VZ) die einzigen Lösungen sind. Ich weiß allerdings nicht, wie man das beweisen sollte und wie man dann verallgemeinert.

Liegt hier ein Schreibfehler oder ein richtiger Fehler vor. Richtig ist doch

$\begin{eqnarray*} Q(n)=2^{s-1} \end{eqnarray*}$

Beispiel: $\begin{eqnarray*} n = 3 \cdot 5 =15, \quad s = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15 = 8^2-7^2=4^2-1^2, \quad Q(n) =2 =2^{(2-1)} \end{eqnarray*}$

Das passt auch für Primzahlen, also s = 1. Und was meinst du mit unterschiedlichen Vorzeichen? Es sind doch sicher nur Quadrate natürlicher Zahlen gemeint.

Die obige Formel kannst du so herleiten: Für eine ungerade natürliche Zahl n ergibt sich die Zahl Q(n) der Darstellungen als Differenz von Quadraten auf einfache Weise aus der Zahl d(n) der Teiler von n. Es gibt nur eine kleine Besonderheit, wenn n selbst ein Quadrat ist. Dieses Ergebnis wendest du einfach auf quadratfreies n an. Die genannte Besonderheit kann dann nicht auftreten.

15.01.2013, 11:09

HAL 9000

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nicholas spricht von "ganzen Zahlen", also bezieht er wohl auch die (teilweise oder vollständig) negativen Lösungen mit ein, in deinem Beispiel

$\begin{eqnarray*} 15 = (\pm 8)^2-(\pm 7)^2 = (\pm 4)^2-(\pm 1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann wiederum würde es mit dem $\begin{eqnarray*} 2^{s+1} \end{eqnarray*}$ hinhauen. Üblich ist das allerdings nicht, wenn er wie in der Aufgabenstellung nur einfach von "Differenzen von Quadraten" spricht.

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