Varianz einer Geometrischen Verteilung

13.01.2013, 19:34

Matheversteher

Varianz einer Geometrischen Verteilung

Hallo alle zusammen smile

,

ich sitze an folgender Aufgabe, (Im Anhang):
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=\frac{1-p}{p} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ )

Ich schaue in meinen Aufzeichnungen und habe

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X):= \sum\limits_{a_i} a_i f(a_i) \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} Var(X):=\sum\limits_{a_i} (a_i- \mathbb E(X))^2 f(a_i) \end{eqnarray*}$

also habe ich mir überlegt, dass es so aussehen müsste:

$\begin{eqnarray*} Var(X):=\sum\limits_{k=1}^\infty (k-\frac{1}{p})^2 p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$
dies scheint aber nicht richtig zu sein, denn wenn ich in meine Aufzeichnungen schaue müsste da
$\begin{eqnarray*} Var(X):=\sum\limits_{k=1}^\infty k^2 p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$ stehen. verwirrt

Warum, wo ist mein Fehler, was mache ich falsch? Ich hoffe ihr könnt mir sagen, wo mein Fehler liegt und was ich falsch/nicht richtig verstanden habe.

Ich danke euch smile

p.s. Die Aufgabe rechne ich zur Klausurvorbereitung

13.01.2013, 19:52

Math1986

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RE: Varianz einer Geometrischen Verteilung
Du weißt, dass es zwei gleiche Formeln für die Varianz gibt?
$\begin{eqnarray*} Var(X)=E\left((X-E(X))^2\right)=E\left(X^2\right)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

Gemeint ist bei dir wohl:
$\begin{eqnarray*} E\left(X^2\right)=\sum_{k=1}^\infty k^2 p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$

13.01.2013, 20:52

Matheversteher

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Hey, schön dass du mir hilfst smile

Zitat:

Zitat:
Du weißt, dass es zwei gleiche Formeln für die Varianz gibt?
$\begin{eqnarray*} Var(X)=E\left((X-E(X))^2\right)=E\left(X^2\right)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

Ja weis ich. Und beim weiteren durchschauen sehe ich auch ,dass in der Lösung so gerechnet worden ist, wie du es mir hier sagst.

Aber...
Wenn ich in meinem Skript schaue, steht da

" Sei X eine diskrete Zufallsvariable, die nur die Werte $\begin{eqnarray*} a_1, a_2,... \end{eqnarray*}$ annehmen kann und f die Zähldichte von X, Dann heißt
$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X):= \sum\limits_{a_i} a_i f(a_i) \end{eqnarray*}$ ERwartungswert von X und

$\begin{eqnarray*} Var(X):=\sum\limits_{a_i} (a_i- \mathbb E(X))^2 f(a_i) \end{eqnarray*}$ Varianz von X." Deswegen habe ich diese Formel für die Varianz genommen. verwirrt

Und Wenn ich deine Antwort richtig interpretiere, war mein Ansatz also falsch. Wofür gilt denn dann meine Deffinition oder wo ist der Unterschied? Oder gilt das, was ich gerade aus meinen Aufzeichnungen zitiert habe nicht für eine geometrische Verteilung?

13.01.2013, 21:17

Math1986

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Ich wette, die zweite Formel steht auch irgendwo im Skript, wenn du weiterliest.

Dein Ansatz war eben nicht falsch, nur eben ein anderer Ansatz. Im Endeffekt führt beides zum Ziel.

Es gibt da keinen Widerspruch, manchmal gibts eben mehrere Formeln für das selbe. Das ist doch wirklich nichts ungewöhnliches.

14.01.2013, 00:57

Matheversteher

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Zitat:

Zitat
Ich wette, die zweite Formel steht auch irgendwo im Skript, wenn du weiterliest.

ja, habe es gefunden.

Zitat:

Zitat
Es gibt da keinen Widerspruch, manchmal gibts eben mehrere Formeln für das selbe. Das ist doch wirklich nichts ungewöhnliches.

Ist mir durchaus bewusst. wollte an dieser Stelle aber einfach nochmal nachfragen, nicht dass das nur für "besondere" Fälle gilt, die ich überlesen habe, bin eben kein Matheass.

Ähm gut, jetzt möchte ich aber trotzdem einfach an der Stelle weiterrechnen Augenzwinkern

Habe ich auch getan. Hier sind alle Schritte. Am Ende habe ich allerdings irgendwo ein 1/p verloren.

$\begin{eqnarray*} Var(X):=\sum\limits_{k=1}^\infty (k-\frac{1}{p})^2 p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty (k^2-\frac{2k}{p}+\frac{1}{p^2}) p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty k^2 p(1-p)^{(k-1)} + \sum\limits_{k=1}^\infty (-\frac{2k}{p}+\frac{1}{p^2}) p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$

So nun müsste ja
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k^2 p(1-p)^{(k-1)} = E(X^2) \end{eqnarray*}$

dann sollte
$\begin{eqnarray*} E(X)^2= \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{2k}{p}-\frac{1}{p^2}) p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2k}{p}p(1-p)^{(k-1)} +\sum\limits_{k=1}^\infty -\frac{1}{p^2}p(1-p)^{(k-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \sum\limits_{k=1}^\infty k(1-p)^{(k-1)} -\frac{1}{p}\sum\limits_{k=0}^\infty (1-p)^{(k)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{p}-\frac{1}{p^2} \neq \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du hilfst mir an dieser Stelle nochmal, ich finde meinen Fehler einfach nicht unglücklich

Denn offensichtlich müsste es $\begin{eqnarray*} = \frac{2}{p^2}-\frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$ sein) . Ich denke dann sollte alles klar sein.

Edit: Ich glaube, ich weiß woran es liegt. Evtl ein Fehler beim Ausklammern? Denn
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2k}{p}p(1-p)^{(k-1)} = \frac{1}{p}\cdot(2p \sum\limits_{k=1}^\infty k(1-p)^{(k-1)})= \frac{1}{p}\cdot \frac{2}{p} \end{eqnarray*}$ oder?! verwirrt

Hoffe noch auf ein kurzes Feedback, ansonsten danke ich Dir für deine Hilfe und wünsche eine gute Nacht smile

14.01.2013, 10:00

HAL 9000

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Allem Anschein verwendest du hier das Teilresultat

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1} \stackrel{?}{=} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ ,

was aber falsch ist - da kommt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1} = \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

heraus. Das sieht man z.B., wenn man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (1-p)^k = \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ differenziert.

14.01.2013, 13:02

Matheversteher

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Zitat:

Zitat
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1} = \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

Ahhh ok alles klar, ja ich habe es in der Tat so gemacht, wie du es zwei Zeilen vorher vermutest.
Der Rest müsste dann aber stimmen oder?!

Ich danke euch beiden Wink

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