Polynome: Lineare Abhängigkeit und Basis

13.01.2013, 20:48

baba2k

Polynome: Lineare Abhängigkeit und Basis

Hallo zusammen,

ich weiß nicht so recht, was ich bei dieser Aufgabe machen soll,
mit Polynomen haben wir bisher sowas noch nicht gemacht:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{V}=\{a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0~|~a_0,a_1,a_2,a_3 \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller reellen Polynome bis zum Grad 3 und $\begin{eqnarray*} p_1=x^2+x+1, p_2=x-1, p_3=x^3-x^2+2 \end{eqnarray*}$ .

(a) Sind die drei Polynome $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ linear abhängig?

(b) Bilden $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
(a)
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \\ IV \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' = IV \\ II \\ III \\ IV'=I \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II \\ III'=I-III \\ IV' \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda_2+2\cdot \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda_2+2\cdot 0 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1-\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1-0=0 \Rightarrow \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig

(b)
1.
$\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig

2.
$\begin{eqnarray*} p_1=0x^3+1x^2+1x+1 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2=0x^3+0x^2+1x-1 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_3=1x^3-1x^2+0x+2 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen, oder bin ich da total auf dem Holzweg?

Vielen Dank!

14.01.2013, 08:59

klarsoweit

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RE: Polynome: Lineare Abhängigkeit und Basis

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II \\ III'=I-III \\ IV' \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix ist in der 3. Zeile falsch. Außerdem hast du sie nicht in Zeilenstufenform gebracht.

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen, oder bin ich da total auf dem Holzweg?

In der Tat bist du auf dem Holzweg. Was muß denn eine Basis leisten? Genau, man muß mit der Basis jedes Element des Vektorraums darstellen können. Und wie sieht das mit dem Polynom p(x) = 1 aus? verwirrt

14.01.2013, 09:29

baba2k

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$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II \\ III'=I-III \\ IV' \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\lambda_2+2\cdot \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2\lambda_2+2\cdot 0 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

...

Mh, aber wie sieht den eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten Matrix in
Treppenform aus? Ich dachte das geht nicht anders.

Eine Basis muss leisten:
1. Vekotren l.u.
2. Man muss jedes Element des Vektorraums darstellen können

p(x)=1 liegt drin, da ist bei $\begin{eqnarray*} x^3,x^2,x \end{eqnarray*}$ der Koeffizient 0.
Würde ich sagen.

Danke!

14.01.2013, 10:06

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Zitat:

Original von baba2k
Mh, aber wie sieht den eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten Matrix in
Treppenform aus? Ich dachte das geht nicht anders.

Treppenform ist, wenn jeweils unterhalb dem ersten Nicht-Nullelement einer Zeile nur Nullen stehen. Und das ist bei der Zeile 1 nicht der Fall.

Zitat:

Original von baba2k
p(x)=1 liegt drin, da ist bei $\begin{eqnarray*} x^3,x^2,x \end{eqnarray*}$ der Koeffizient 0.
Würde ich sagen.

Daß p(x) = 1 in V liegt, habe ich nicht bezweifelt. Die Frage ist, ob du dieses Polynom durch eine Linearkombination aus den 3 Polynomen p_1, p_2 und p_3 darstellen kannst. smile

14.01.2013, 12:53

baba2k

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Zur besseren Übersicht nochmal komplett:

(a)
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \\ IV \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' = IV \\ II \\ III \\ IV'=I \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II'=I-II \\ III'=I-III \\ IV' \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II' \\ III''=II'\cdot 2 - III' \\ IV''=III''-IV'\cdot 4 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\lambda_3=0 \Rightarrow \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda_2+3\cdot \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda_2+3\cdot 0 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1-\lambda_2+2\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1-0+2\cdot 0=0 \Rightarrow \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig

Ich hoffe (a) stimmt so jetzt?

(b)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \\ IV \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' = IV \\ II \\ III \\ IV'=I \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II'=I-II \\ III'=I-III \\ IV' \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I' \\ II' \\ III''=II'\cdot 2 - III' \\ IV''=III''-IV'\cdot 4 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\not=1 \end{eqnarray*}$ Widerspruch, reicht das schon? Weiß nicht so richtig, was ich damit anfangen soll...

Ansonsten:
$\begin{eqnarray*} 4\lambda_3=1 \Rightarrow \lambda_3 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda_2+3\cdot \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\lambda_2+3\cdot \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow \lambda_2 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1-\lambda_2+2\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1-\frac{3}{4}+2\cdot \frac{1}{4}=0 \Rightarrow \lambda_1 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{3}{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not= \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p(x)=1 liegt nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$

Aber, was sagt mir das jetzt? Müssen nicht nur $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$ liegen?

14.01.2013, 14:00

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Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p(x)=1 liegt nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$

Unfug. Natürlich ist das Polynom p(x) = 1 eine Element von V. V ist doch (siehe oben) der Vektorraum aller Polynome mit maximalem Grad 3. Die Folgerung ist jedoch, daß p(x) kein Element des Teilraums ist, der von den Vektoren p_1, p_2 und p_3 aufgespannt wird.

Zitat:

Original von baba2k
Aber, was sagt mir das jetzt? Müssen nicht nur $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$ liegen?

Ja, auch p_1, p_2 und p_3 liegen in V. Die Frage war aber, ob diese Polynome auch eine Basis von V bilden. Und an dieser Stelle solltest du mal ganz scharf darüber nachdenken, was die Eigenschaft einer Basis ist. (Übrigens auch eine nette Frage in einer mündlichen Prüfung.) smile

14.01.2013, 15:30

baba2k

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Stimmt p(x) liegt in V, es kann nur nicht als Linearkombination von p_1,_p_2,p_3 dargestellt werden.

Basis wenn:
1. p_1,p_2,p_3 linear unabhängig
2. ihre lineare Hülle gleich V ist, d.h jedes b \in V kann eindeutig als Linearkombination von p_1,p_2,p_3 dargestellt werdem

----

1. erfüllt
2. ist nicht erfüllt, da p(x)=1 nicht als LK von p_1,p_2,p_3 dargestellt werden kann

=> keine Basis

Könnte das so stimmen? smile

Vielen Dank!

Muss ich dann überhaupt angeben das p_1,p_2,p_3 in V liegen, was ich im ersten Post gemacht habe?

14.01.2013, 15:54

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Zitat:

Original von baba2k
Könnte das so stimmen? smile

Ja.

Zitat:

Original von baba2k
Muss ich dann überhaupt angeben das p_1,p_2,p_3 in V liegen, was ich im ersten Post gemacht habe?

Ich kann diesbezüglich im ersten Post nichts finden, aber ein dezenter Hinweis, daß das so ist, kann nicht schaden. Augenzwinkern

14.01.2013, 16:01

baba2k

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Cool, dann hab ich's jetzt verstanden smile

Vielen Dank!

Ich meine das:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p_1=0x^3+1x^2+1x+1 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2=0x^3+0x^2+1x-1 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_3=1x^3-1x^2+0x+2 \in \mathbb V \end{eqnarray*}$

Oder reicht das nicht um zu zeigen, dass p_1,p_2,p_3 in V liegen?

14.01.2013, 16:05

baba2k

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Noch eine andere Frage:

1. Wenn es die Dimension 4 ist und ich 4 Vektoren bzw. in diesem Fall Polynome gegeben hätte, dann hätte es genügt, die Lineare Unabhängigkeit zu zeigen, ist das richtig?

2. Bzw. ich könnte auch nur zeigen, dass ein Element aus V als LK der Vektoren/Polynome dargestellt werden könnte?

Es reicht praktisch eins von beiden?

Danke!

15.01.2013, 08:57

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Zitat:

Original von baba2k
Ich meine das:

Zitat:

Oder reicht das nicht um zu zeigen, dass p_1,p_2,p_3 in V liegen?

Doch, ist ok.

Zitat:

Original von baba2k
1. Wenn es die Dimension 4 ist und ich 4 Vektoren bzw. in diesem Fall Polynome gegeben hätte, dann hätte es genügt, die Lineare Unabhängigkeit zu zeigen, ist das richtig?

Ja.

Zitat:

Original von baba2k
2. Bzw. ich könnte auch nur zeigen, dass ein Element aus V als LK der Vektoren/Polynome dargestellt werden könnte?

Genau genommen mußt du erstmal zeigen, daß sich alle Elemente aus V als LK der Vektoren/Polynome darstellen lassen. Zum Nachweis, daß das dann eine Basis ist, brauchst du die Dimension 4 oder die lineare Unabhängigkeit.

15.01.2013, 12:03

baba2k

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Alles klar, vielen Dank!

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