Untersuchung von Funktionen - Seite 2

19.02.2007, 15:00

Neela Singh

Sorry aber bei der Wendestelle komm ich nicht weiter
kann mir jemand ein beispel geben bitte

Danke im Voraus

und mit der Extremstelle meint eich dass sie doch durch 0 geht oder nciht??

19.02.2007, 15:00

Calvin

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Ich weiß nicht, was auf deinem Papier alles steht, aber zumindest hier fehlt noch eine Begründung, warum es keine Extremstelle gibt!

Für die Wendestellen musst du die zweite Ableitung =0 setzen. Wie sieht deine zweite Ableitung aus?

19.02.2007, 15:03

Neela Singh

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6/8x -6/4

ist meine 2. ableitung

19.02.2007, 15:03

Calvin

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Die zweite Ableitung ist richtig. Du kannst aber noch kürzen.

Nochmal zurück zu den Extremstellen. Du hast rausgefunden, dass an der Stelle x=2 möglicherweise eine Extremsstelle ist. Ob es sich tatsächlich um eine handelt, prüfst du mit der zweiten Ableitung.

Setze x=2 in die zweite Ableitung ein. Kommt dann ein Wert raus, der nicht null ist, hast du eine Extremstelle. Wenn da null rauskommt, musst du weitere Untersuchungen anstellen.

19.02.2007, 15:05

Neela Singh

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also 6/4 - 6/4 hab ich 0 raus

19.02.2007, 15:09

Calvin

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Schön, dass du mich immer raten läßt, worum es gerade geht. Ich steh auf Rätselspiele... Es wäre echt nett, wenn du noch einen Satz mehr schreiben würdest und sagst, wie deine Zahlen zustanden kommen.

Ja, wenn du $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ in die zweite Ableitung einsetzt, kriegst du 0. Deshalb kannst du keine Aussage treffen, ob du eine Extremstelle hast oder nicht.

Du musst jetzt entweder das Vorzeichenwechselkriterium anwenden oder (in diesem Fall einfacher) den Wert $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ in die dritte Ableitung einsetzen.

Bekommst du da einen Wert ungleich null raus, hast du keine Extremstelle. Bekommst du da null raus, kannst du immer noch keine Aussage treffen, ob es sich um eine Extremstelle handelt.

Wenn du das gemacht hast, darfst du dir überlegen, ob du die Wendestellen nicht schon erledigt hast Augenzwinkern

19.02.2007, 15:12

Neela Singh

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in die dritte ableitung kann ich die azhl nicht einsetzen
weil,

die dritte ableitung 6/8

lautet und entschuldigung ich werde es nächstemmal deutlicher machen

19.02.2007, 15:30

Calvin

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Zitat:

Original von Neela Singh
in die dritte ableitung kann ich die azhl nicht einsetzen
weil,

die dritte ableitung 6/8

Das bedeutet folgendes: egal, was du in die dritte Ableitung "einsetzt", es kommt immer $\begin{eqnarray*} \frac{6}{8} \end{eqnarray*}$ raus. Das kann man noch zu $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ kürzen.

Damit ist die dritte Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ nicht null und somit hast du da keine Extremstelle.

19.02.2007, 18:02

Neela Singh

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und gibt es deswegen auch keine wendestellen??
wegen den extremstellen??

19.02.2007, 18:13

Neela Singh

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nein dann ist ja x=2 die wendestelle oder was??

19.02.2007, 18:19

Calvin

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Ja, an der Stelle x=2 ist eine Wendestelle.

Du hast rausgefunden, dass an der Stelle x=2 eine waagrechte Tangente ist (das war die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt). Da aber an dieser Stelle keine Extremstelle ist, ist dort eine Sattelstelle. Und eine Sattelstelle ist immer auch eine Wendestelle.

19.02.2007, 18:24

Neela Singh

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ya das haben wir vor kurzem gelernt
abe rich weiss nciht warum woher ich weiss das x=2 automatisch die wendestelle ist wenn das bei der berechnung der extremstelle rauskommt ist das immer so??

das wenn die zahl bei de rbrechnung der extremstelle ungleich null ist in der dritten ableitung automatisch eine wende- bzw. sattelstelle ist??

19.02.2007, 18:48

Calvin

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OK, dann der Reihe nach. Du suchst die Extremstellen. Dafür setzt du zunächst mal die erste Ableitung gleich null. Damit bekommst du z.B. die mögliche Extremstelle bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle hast du also eine waagrechte Tangente. Jetzt musst du noch prüfen, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist.

Du setzt jetzt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis <0, so ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt. Ist das Ergebnis >0, so ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Tiefpunkt.

Ist das Ergebnis =0, so kannst du keine Aussage treffen. Dann gibt es 2 Möglichkeiten für die weitere Untersuchung. Das bei Schülern ungeliebte Vorzeichenwechselkriterium führt immer zum Erfolg. Der alternative Weg leider nicht immer.

Die Alternative ist, dass du $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in die 3. Ableitung einsetzt. Wenn da ein Wert ungleich null rauskommt, bist du fertig. Wenn nicht, setzt du $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in die 4. Ableitung ein. Das machst du so lange weiter, bis du bei einer Ableitung (nennen wir es die n-te Ableitung) ein Wert ungleich null rauskommt.

Ist n eine gerade Zahl, so ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Extremstelle

Ist n eine ungerade Zahl, so ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Sattelpunkt, also ein Wendepunkt.

In deinem Beispiel ist n=3.

Ich hoffe, es ist dir jetzt klar geworden.

19.02.2007, 18:54

Neela Singh

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Ich weiss jetzt dass ich sehr nerve aber
wieso ist bei mir jetzt n=3 Prost

und du hast mich ein bisschen mit den extremstellen durcheinander gebracht

Kannst du da snciht etwas deutlicher erklären??
bitte ich weiss dass ist zu viel verlangt aber diese seite sit sehr hilfreich ich hab sie jedem weitergegeben

Danke im Voraus

19.02.2007, 19:25

Calvin

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Ich finde es schon erstaunlich, dass du innerhalb von 6 Minuten mein Posting gelesen hast, dir darüber Gedanken darüber gemacht hast und eine Antwort formuliert. Ich schaffe das nicht so schnell, wenn ich mich mit einem Thema schwer tue.....

Hier mal eine Übersicht deiner Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Zunächst wolltest du die Extremstellen wissen. Dafür hast du die erste Ableitung null gesetzt
Damit hast $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ als mögliche Extremstelle gefunden.

Zum Testen, ob das wirklich eine Extremstelle ist, hast du es in die zweite Ableitung eingesetzt und hast festgestellt, dass da auch wieder null rauskommt. $\begin{eqnarray*} f''(2)=\frac{3}{4}\cdot 2-\frac{3}{2}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also musst du weitersuchen und $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ in die dritte Ableitung einsetzen. $\begin{eqnarray*} f'''(2)=\frac{3}{4}\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis ist ungleich null. Somit bist du fertig. Und weil du bei der dritten Ableitung fertig bist, ist n=3.

19.02.2007, 19:29

Neela Singh

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ok danke schön

also wird das bei jeder funktion so sein
das die rausgekommene zahl die wendestelle ist

19.02.2007, 19:38

Calvin

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Zitat:

Original von Neela Singh
also wird das bei jeder funktion so sein
das die rausgekommene zahl die wendestelle ist

NEIN! Lies mal meine letzten beiden Postings genau und denke bitte darüber nach.

Zitat:

Ist n eine gerade Zahl, so ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Extremstelle

Ist n eine ungerade Zahl, so ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Sattelstelle, also bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Wendestelle.

20.02.2007, 13:39

Neela Singh

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jetz hab ich verstanden dankeschön

und ich habe noch eine letzte frage
unzwar
es gibt ja bei den wendestellen und so
1. oder 2. bedingungen die muss man doch verwenden erst dann wenn keine aussage möglich ist oder nicht??

20.02.2007, 13:54

Calvin

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Es müssen immer beide Bedingungen erfüllt sein.

Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass die hinreichende Bedingung die notwendige Bedingung einschließt.

Für die Wendestellen gilt das gleiche, aber es ist überall noch ein Ableitungsstrich mehr dran:

Notwendige Bedingung für Wendestelle in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingung für Wendestelle in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f'''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Erst wenn du eine Stelle gefunden hast, die die notwendige Bedingung erfüllt, aber die hinreichende nicht, musst du mit dem Vorzeichenwechselkriterium oder meinem oben beschriebenen Kriterium agieren. Wobei das oben beschriebene Kriterium nur zur Untersuchung auf Hoch-/Tief-/Sattelpunkte dient. Für Wendestellen muss man das ein bißchen abändern! Das wird in der Schule in der Regel aber nicht mehr gebraucht.

20.02.2007, 14:04

Neela Singh

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Wir haben das mit dem Vorzeichen wechselkriterium nicht gelernt kannst du dass vielleicht mal zeigen doer ein beispiel geben??

20.02.2007, 14:23

Calvin

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Wenn ihr das nicht gemacht habt, dann würde ich mich darum erstmal nicht kümmern. Du hast offensichtlich genügend andere Probleme mit eurem Mathestoff. Ich würde an deiner Stelle versuchen, den Ablauf einer Kurvendiskussion und die Zusammenhänge zwischen der Funktion und ihren Ableitungen zu verstehen.

Eine stark vereinfachte Erkärung für das Vorzeichenwechselkriterium gibt es hier: http://www.mathematik-wissen.de/hochpunk..._tiefpunkte.htm

24.02.2007, 11:45

Neela Singh

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Ich hab eine kurze frage
unzwar bei den stellen nach dem komma bei der untersuchung von funktionen
ab wann muss da ab oder aufgerudnet werden sagen wir mal

1.75899451

Danke im Voraus

24.02.2007, 12:31

Neela Singh

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bekomme ich heut noch eine antwort??

danke im voraus

24.02.2007, 13:51

derkoch

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Deine Frage, über auf- oder abrunden, oder auf wieviel Stellen genau, kann man umgehen, bzw. erst gar nicht aufkommen lassen, wenn du mit Brüchen arbeitest, statt mit Kommazahlen! Augenzwinkern

24.02.2007, 15:17

Calvin

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Zitat:

Original von Neela Singh
bekomme ich heut noch eine antwort??

danke im voraus

Ein bißchen geduldiger darfst du schon sein. Man bekommt zwar oft sehr schnell eine Antwort, aber 45 Minuten sind keine lange Wartezeit!

Ich würde auf maximal 2 Stellen nach dem Komma runden. Das ist aber meine persönliche Meinung. Außerdem hängt es davon ab, wie die Zahlen im Verhältnis zu anderen stehen. Wenn du einen Hochpunkt an der Stelle x=1,456322546647 und einen Tiefpunkt an der Stelle x=1,456327341797 dann wäre es blöd, auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden Augenzwinkern

"Perfekt" ist und bleibt für mich aber die Schreibweise mit Wurzeln und Brüchen. Genauer geht es nämlich nicht mehr und du hast keine Rundungsprobleme.

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