Untersuchung von Funktionen

14.02.2007, 17:53

Neela Singh

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Untersuchung von Funktionen

Hallo
bin in der 11.Klasse
und hab ein kleines Problem

also wir untersuchen im Moment Funktionen im Zusammenhang mit Parabeln

z.b

f(x)=1/8x³ -3/4 x³ + 3/2 x

die ableitungen und so kann ich schon aber bei Extrempunkten Nullstellen hab ich probleme mit Taschenrechner wie man das alles rechnen soll
ich kann das nicht

kann mia bitte jemand helfen

Danke im Voraus

14.02.2007, 17:55

Calvin

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RE: Untersuchung von Funktionen

Zitat:

Original von Neela Singh
die ableitungen und so kann ich schon aber bei Extrempunkten Nullstellen hab ich probleme mit Taschenrechner wie man das alles rechnen soll

Sowas macht man auch nicht mit Taschenrechner *AufDieFingerKlopf* Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie lauten denn deine Ableitungen? Wo genau liegen deine Probleme bei den Extremstellen?

14.02.2007, 18:00

Neela Singh

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bin ich froh dass einer geschrieben hat dankeee

also wir machen das schon lange so das wir nach der reihe
erstmal die nullstelle dann die extremstelle
und immer so wendestelle alles nach der reihe rechnen
ehrlich gesagt kann ich keins von denen weil jedesmal wenn ich mich dran setze
komm ich durcheinander

am end emüssen wir eben die jeweiligen koordinaten haben

14.02.2007, 18:02

Calvin

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Das Vorgehen ist mir klar. Aber wo genau sind deine Probleme? Wie ist dein Ansatz?

Für die Nullstellen z.B. kannst du ein x ausklammern.

14.02.2007, 18:07

Neela Singh

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ich weiss nicht ob das zu viel verlangt wäre abe rich bräuchte ein beispiel mit nulstelle dann extremstelle wendestelle die bedingungen und dann das ergebnis

ist vllcht jemand bereit da sbitte ein einziges mal mit erklärungen zu berechnen ich schreibe bald eine klausur

14.02.2007, 18:10

derkoch

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Stichwort: Ausklammern! ----> ein Produkt wird null , wenn ... smile

smile

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14.02.2007, 18:12

Calvin

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Du hast gesagt, die Ableitungen könntest du. Was hast du dafür raus?

Für die Nullstellen nimmst du die Funktion und setzt sie null: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=0 \end{eqnarray*}$

Wenn du hier bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=0 \end{eqnarray*}$ ein x ausklammerst, kommst du bequem auf die Nullstellen. Eine kannst du ablesen und die anderen mit pq-Formel bestimmen.

Für die Extremstellen machst du das gleiche mit der ersten Ableitung.

Für die Wendestellen machst du das gleiche mit der zweiten Ableitung.

Das ist zwar noch nicht alles, aber für den Anfang reicht das. Nur Mut. Probiere es mal aus smile

smile

Reicht dir das schon als Hilfe?

14.02.2007, 18:15

Neela Singh

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boa krass danke
da shat mir sehr weit geholfen nur
könnt eman vllcht ein beispiel für diese pq formel kriegn und wie man am ende die koordinaten rausbekommt??

14.02.2007, 18:20

Calvin

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Allgemein: $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x^2-x-2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad p=-1\quad q=-2 \end{eqnarray*}$

=> Einsetzen und ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.02.2007, 18:29

Neela Singh

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sorry jetz bin ich total durcheinander
wie soll ich das einsetzen udn woher haben sie die -1 und -2 her??

14.02.2007, 18:34

Calvin

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Du brauchst mich nicht zu siezen. Hier ist du üblich.

Das p ist die Zahl (inklusive Vorzeichen), die vor dem x steht. Wobei die 1 "unsichtbar" ist.

Das q ist die Zahl (inklusive Vorzeichen), die ohne das x dasteht.

Und dann in die Formel mit der großen Wurzel einsetzen.

14.02.2007, 18:43

Neela Singh

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ok danke ich werde es später ausrechnen
ich kann aber dich später auch weiterhin fragen oder wenn ich fragen habe??

14.02.2007, 18:57

Calvin

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Ich bin später nicht mehr online. Aber es wird sicher jemand einspringen.

Du solltest aber unbedingt dazuschreiben, was du bereits gemacht hast und wo genau deine Probleme sind.

15.02.2007, 19:41

Neela Singh

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Also
ich habe jetzt

bei 1/8x³-3/4x²+3/2x

x1,2=-0.75/2 + - in wuzeln (0.75/2)²-3/2 gerechnet wo bei -1.5 rauskam
nur ich weiss nicht was es damit zutun aht wwa sich weiter machen muss

Bitte Hilft Mir

Danke im Voraus

15.02.2007, 20:01

Baldessarini

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Na dann "versuche" ich mal einzuspringen. Ist ja auch noch eine Übung für mich Big Laugh

Big Laugh

Deinen letzten Beitrag habe ich leider nicht verstanden , du musst dich schon Etwas deutlicher ausdrücken . Das i-Tüpfelchen wäre natürlich , wenn du Latex für deine Gleichungen benutzen würdest.

Also gut ich fasse nochmal zusammen :

Folgende Gleichung soll diskutiert werden :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=0 \end{eqnarray*}$

1.Nullstellen

Die Nullstellen bekommst du jetzt raus , wenn du die Funktion gleich null setzt, also :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=0 \end{eqnarray*}$

Die Funktion gleich null setzen , bedeutet etwas so ähnliches wie "was muss ich für x einsetzen, damit 0 rauskommt". Das wäre dann schonmal eine Nullstelle.
In diesem Fall geht das auch ganz einfach durch ausklammern .

Ein "einfaches" Beispiel für Ausklammern :

1. Die Funktion in "Normalform" , also wie die in deinem Beispiel :

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-\frac{2}{15}x^2+\frac{4}{20}x=0 \end{eqnarray*}$

2. So und jetzt klammere ich aus

$\begin{eqnarray*} x(5x^2-\frac{2}{15}x+\frac{4}{20}) \end{eqnarray*}$

Was fällt dir auf ? Genau ! , wenn ich die Gleichung von 2 löse, kommt man wieder auf 1. . Du fragst dich jetzt bestimmt warum ich das ganze gemacht habe.
Nun eine Regel in der Mathematik ist, dass wenn der Faktor 0 ist, die Lösung gleichzeitig auch immer 0 ist !

$\begin{eqnarray*} 5*0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*(\frac{456546645654^{\sqrt{435345\frac{4\frac{456546645654^{\sqrt{435345}}}{456546} 56546645654^{\sqrt{435345}}}{456546} }}}{456546\frac{456546645654^{\sqrt{4\frac{456546645654^{\sqrt{435345}}}{456546} 35345}}}{456546} } )= 0 \end{eqnarray*}$

Ein bisschen extrem , aber ich denke dir läuchtet ein was ich dir sagen möchte.

Gut nun bist du drann ! Klammere deine Funktion aus und dann kannst du mir bestimmt gleich schon sagen , welche die 1.Nullstelle ist .

(Ps: Ich hoffe ich konnte es einigermaßen gut erklären Big Laugh

Big Laugh

)

15.02.2007, 20:12

Neela Singh

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danke das ist sehr ausführlich nur

mein problem ist ja dass man ausser die normale nullstelle die man beim ausklammern bequem kriegt

aber noch die pq formel anwenden muss wie ich das gerade bei meinem letzten eintrag versucht habe zu machen
nur ich brauch zu meiner aufgabe ein beispiel mit pq formel
um zu sehen wie das gemacht ist

bitte könntest du das mit dieser aufgabe mahcne und nebenbei erklären dann werd ich das bestimmt verstehen

15.02.2007, 20:23

Baldessarini

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Moment mal ....

Sag mir doch erstma ... WAS IST DENN DIE NULLSTELLE ,die du rausgefunden hast ?
Und was ist die quadratische Gleichung , die du lösen willst ?

Dann mach ich dir gerne ein Beispiel ,will nur schauen ob du auch wirklich weißt wo wir gerade sind Freude

Freude

15.02.2007, 20:31

Neela Singh

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Also

ich habe so ausgeklammert und dann x=0
herausgefunden

weiter weiss ich nicht

15.02.2007, 20:33

Baldessarini

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Das ist doch schonmal gut !

So und was ist jetzt die quadratische Gleichung ?

(Tipp : Was bleibt denn noch von deiner ausgeklammerten Funktion übrig, wenn x=0 ist ? )

15.02.2007, 20:35

Neela Singh

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ya ok was in der klammer steht nur danach weiss ich garnicht mehr weiter ehrlich gesagt weil
ich hab im unterricht mehrmals gefehlt

wie ist der ansatz denn danach was muss man da machen
man muss ja noch extremstellen und so ausrechnen

15.02.2007, 21:03

Baldessarini

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Gut dann will ich mal nicht so sein ... aber bitte lies dir wirklich aufmerksam durch was ich schreibe , und vor allem , musst du mitdenken ! Am besten nimmst du dir die Tage auch mal einen "Lern-Tag-Mathe" , in dem du das wiederholst , was du in der Schule verpasst hast. Ist nur eine Empfehlung von mir, weil's jetzt eigentlich immer schwieriger und nicht leichter wird .

Also wie du schon gesagt hast, "das was danach in der klammer kommt". Das ist eine quadratische Gleichung.

Wenn du die Funktion :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=0 \end{eqnarray*}$

nach x ausklammerst steht dann da in der Gleichung :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

So und jetzt geht die p/q-Formel ! Und das versuchst du mal !

Hier mal ein vollständiges Beispiel zur p/q Formel :

$\begin{eqnarray*} 4x^2+12x+8 \end{eqnarray*}$

So , jetzt steht ja vor dem x² eine Zahl. Das ist ja eigentlich blöd, weil ich bei der p/q Formel keine Zahl vor dem x² will , also muss ich erstmal die ganze Gleichung durch 4 teilen !

$\begin{eqnarray*} x^2+3x+2 \end{eqnarray*}$

und jetzt kann ich die p/q Formel anwenden , oder wie Calvin schon gesagt hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Calvin
Allgemein: $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\quad x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

=> Einsetzen und ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also , in meinem Beispiel ist 3=p und q=2 .
Einfach in die Formel einsetzen =>

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2} \end{eqnarray*}$

und ausrechnen :

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)-2} \end{eqnarray*}$

und weiter ...

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{2,25-2} \end{eqnarray*}$

und weiter ...

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{0,25} \end{eqnarray*}$

und jetzt die Wurzel ziehen ...

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm 0,5 \end{eqnarray*}$

und jetzt Endspurt !

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-\frac{3}{2} + 0,5 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\frac{3}{2} - 0,5 = -2 \end{eqnarray*}$

You see ? So und jetzt macht das mal bei deiner Gleichung und mach mich zu einem stolzen Lehrer haha

16.02.2007, 20:40

Neela Singh

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also
is ja cool
danke für dein beispiel
ich hab jetz die funktion mit 1/8³ usw
ausgerechnet so wie dein beispiel nur
unter der wurzel kommt am ende -3 raus
und die wurzel von -3 ist 1.732050808 udn so ist das richtig ??
und wenn ab wo soll ich auf oder abrunden??
weil ich weiss nciht kann sein dass ich falsch gerechnet habe

Danke im Voraus

17.02.2007, 20:13

Neela Singh

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Bekomme ich vllchjt eine Antwort auf meine obrige Frage??

17.02.2007, 20:48

Neela Singh

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme wirklich nicht weiter

Kann mir Jemand helfen??

Bitte ich schreib bald eine Klausur

17.02.2007, 21:17

Calvin

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Zitat:

Original von Neela Singh
unter der wurzel kommt am ende -3 raus

Ja, das ist richtig und braucht dich nicht zu beunruhigen smile

smile

Zitat:

und die wurzel von -3 ist 1.732050808 udn so ist das richtig ??

Nein, aus einer negativen Zahl kannst du nicht die Wurzel ziehen. Deshalb hat die Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen willst, keine reellen Lösungen. Das heißt, dass die Funktion keine weiteren Nullstellen hat.

Das kannst du auch an der Zeichnung sehen:

19.02.2007, 13:58

Neela Singh

Auf diesen Beitrag antworten »

also sagst du
dass diese berechnung abgeschlossen ist und ich dann mit
der 1. ableitung die extremstellen ausrechnen muss.

19.02.2007, 14:03

Calvin

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Ja, das meinte ich damit

19.02.2007, 14:26

Neela Singh

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Ich habe ein Problem unzwar
bei den Extremstellen habe ich einmal x=-3.4 und x=-0.6 raus

aber an der Zeichnung sieht das nicht so aus

oder täusche ich mich??

DANKE IM VORAUS

19.02.2007, 14:29

Calvin

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Wenn du uns auch noch ein paar deiner Zwischenschritte sagst, können wir sogar sagen, wo dein Fehler liegt.

Wie lautet deine erste Ableitung? Was hast du in der pq-Formel für p und was für q eingesetzt?

EDIT
Theoretisch lassen sich die möglichen Extremstellen sogar ohne pq-Formel berechnen. Dafür brauchst du binomische Formeln.

19.02.2007, 14:50

Neela Singh

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist ein Problem weil ich die formeln nicht so schreiben kann wie ihr

egal
aufjedenfall hab ich

3/8 x²- 6/4x + 3/2

also die 1. ableitung von 1/8x³-3/4x²+3/2 x

da hab ich ertsmal 3/8 x² zu x² gebrcht also

x²-4x+4

dann hab ich diese jeweils in die pq formel eingesetzt und ausgerechnet

unter der wurzel kam bei mir aber im endeffekt 2 raus von der ich die wurzel gezogen udn anschliessend abgerundet habe also 1.4

danach ahbe ich dann die formel mit + und dann einmal mit - durchgezogen

x1,2=-4/2 +1.4=-0.6

x1,2=-4/2-1.4=-3.4

Danke im voraus

19.02.2007, 15:16

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Neela Singh
Da ist ein Problem weil ich die formeln nicht so schreiben kann wie ihr

egal
aufjedenfall hab ich

3/8 x²- 6/4x + 3/2

also die 1. ableitung von 1/8x³-3/4x²+3/2 x

da hab ich ertsmal 3/8 x² zu x² gebrcht also

x²-4x+4

Bis hierhin stimmt es. Aber dann hast du falsch in die pq-Formel eingesetzt. Das p ist die Zahl vor dem x, und zwar mit dem Vorzeichen. Es ist also $\begin{eqnarray*} p=-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=4 \end{eqnarray*}$

Auch unter der Wurzel hast du nochmal falsch eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=-\frac{(-4)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{(-4)}{2}\right)^2-4} \end{eqnarray*}$ .

Alternativ könntest du aber auch die Linke Seite von $\begin{eqnarray*} x^2-4x+4=0 \end{eqnarray*}$ mit der zweiten binomischen Formel umformen.

PS Für die Formeln haben wir den Formeleditor

19.02.2007, 15:24

Neela Singh

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ya das stimmt total
ich hab die - zeichen total übersehen
ich rechne das jetz noch einmal danke aber nochmals

19.02.2007, 15:35

Neela Singh

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= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{} () \frac{-4}{2} -4

am end ekommt 0 raus weil -4 x -4 sind + 16 und am end ekommt unter der wurzel 4-4= 0 raus

tut mir ledi ich komm mit diesen formeleditor nciht klar

19.02.2007, 15:36

Calvin

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Unter der Wurzel kommt 0 raus. Und was bleibt vor der Wurzel übrig?

19.02.2007, 15:37

Neela Singh

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ya diese -(-4)/2 bleibt übrig

19.02.2007, 15:42

Calvin

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Richtig. Und das kannst du noch ausrechnen.

Übrigens: Schneller (und weniger fehleranfällig) wäre der Weg über binomische Formeln gegangen.

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4=0\quad \Leftrightarrow \quad (x-2)^2=0 \end{eqnarray*}$

19.02.2007, 15:43

Neela Singh

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ya da shab ich ja egrade schon getan also kommt am ende 0 raus also gibt es garkeine nullstellen

yetzt mach ichd a smal mit den wendestellen

19.02.2007, 15:43

Neela Singh

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ich meinte es gitb garkeine extremstellen sorry

19.02.2007, 15:48

Calvin

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Zitat:

Original von Neela Singh
ya da shab ich ja egrade schon getan also kommt am ende 0 raus also gibt es garkeine nullstellen

verwirrt

Diesen Satz verstehe ich nicht (trotz deiner Korrektur dass du Extremstellen meintest). Was hast du gemacht? Wo kommt am Ende 0 raus? Wie schließt du daraus, dass es keine Extremstellen gibt?

19.02.2007, 15:58

Neela Singh

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber bei der Wndestelle komm ich nicht weiter
kann mir jemand ein beispel geben bitte

Danke im Voraus

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