Mittlere quadratische Abweichung

13.01.2013, 23:11

Anahita

Mittlere quadratische Abweichung

Hi!

Sei für einen Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat{\theta} \end{eqnarray*}$ die mittlere quadratische Abweichung definiert als $\begin{eqnarray*} E[(\theta - \hat{\theta})^{2}] \end{eqnarray*}$ =: MSE ("Mean Squared Error") .

Betrachten wir nun eine Stichprobe $\begin{eqnarray*} X_{1},...X_{n} \end{eqnarray*}$ und benutzen wir den als Schätzer für den Erwartungswert das empirische Mittelwert:

$\begin{eqnarray*} \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{i} \end{eqnarray*}$ .

Dann steht auf Wikipedia es gelte hier:

$\begin{eqnarray*} MSE(\overline{X}) = E((\overline{X}-\mu)^{2}) = (\frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{2} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir erklären warum? Mir ist klar dass man $\begin{eqnarray*} E((\overline{X}-\mu)^{2}) \end{eqnarray*}$ schreiben kann als $\begin{eqnarray*} E((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{i}-\mu)^{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = E(( \sum_{i=1}^n X_{i}-\mu)^{2}) \end{eqnarray*}$ doch wie kriegt man bei Ersterem das "1/n" raus?

Danke

14.01.2013, 15:04

Anahita

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Ich glaube es ist mehr eine rechnerische Angelegenheit als dass es wirklich etwas mit Statistik zu tun hätte. Hat niemand eine Idee?

14.01.2013, 15:33

Kasen75

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Hallo Anahita,

n ist hier der Stichprobenumfang.

Grüße.

14.01.2013, 15:43

Anahita

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RE: Mittlere quadratische Abweichung
Hi

Ja, das weiss ich.

Aber wie kommt man auf die folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} MSE(\overline{X}) = E((\overline{X}-\mu)^{2}) = (\frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{2} \end{eqnarray*}$

?

14.01.2013, 16:33

Kasen75

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Das Stichprobenmittel ist:

$\begin{eqnarray*} \overline{X} = \frac{1}{n} \cdot ( X_1 + X_2 + ... + X_n) \end{eqnarray*}$

Die Varianz des Stichprobenmittels ist somit:

$\begin{eqnarray*} Var(\overline{X})=Var[ \frac{1}{n} \cdot ( X_1 + X_2 + ... + X_n)] \end{eqnarray*}$

1/n rausziehen, ergibt:

$\begin{eqnarray*} Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2} \cdot Var[ X_1 + X_2 + ... + X_n] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2} \cdot [Var(X_1) + Var(X_2) + ... + Var(X_n)] \end{eqnarray*}$

Da die Varianz einer Stichprobe, unter den gegebenen Voraussetzungen, immer gleich groß ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} Var(X_1)=Var(X_2)=...=Var(X_n)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 \end{eqnarray*}$

14.01.2013, 16:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kasen75
$\begin{eqnarray*} Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2} \cdot Var[ X_1 + X_2 + ... + X_n] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2} \cdot [Var(X_1) + Var(X_2) + ... + Var(X_n)] \end{eqnarray*}$

Hier ist noch zu erwähnen, dass für diesen Schluss die sich aus der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ ergebende paarweise Unkorreliertheit dieser $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ verwendet wird. Und diese Unabhängigkeit ist ja ebenfalls Grundvoraussetzung für eine Stichprobe.

14.01.2013, 17:00

Anahita

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Ah so..verstehe ich das in dem Fall richtig, dass der MSE nichts anderes ist als die Varianz des Stichprobenmittelwertes? Oder gilt das nur in diesem speziellen Fall?

Vielen Dank!

Edit: Danke@Hal, das hatte ich gesehen, denn aus der Unabhängigkeit folgt ja E(XY) = E(X)E(Y) und damit für Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) mit COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) =>
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

14.01.2013, 17:21

Kasen75

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@Anahita
Ich würde eher sagen: $\begin{eqnarray*} MSE(\overline{X}) \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes ist als die Varianz des Stichprobenmittelwertes.

@HAL
Das meinte ich ja mit "unter den gegebenen Voraussetzung".
War aber in der Tat nicht wirklich zuzuordnen. Big Laugh

14.01.2013, 17:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kasen75
@HAL
Das meinte ich ja mit "unter den gegebenen Voraussetzung".
War aber in der Tat nicht wirklich zuzuordnen.

Dass du das weißt, davon gehe ich aus. Bei Anahita war ich mir da nur nicht ganz so sicher. Augenzwinkern

14.01.2013, 17:22

Anahita

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Zitat:

Original von Kasen75
@Anahita
Ich würde eher sagen: $\begin{eqnarray*} MSE(\overline{X}) \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes ist als die Varianz des Stichprobenmittelwertes.

Ich glaube das ist falsch. Ich bin etwas am Lesen, und wenn ich es richtig verstehe, entspricht MSE nur der Varianz des Schätzers, wenn der Schätzer erwartungstreu ist (bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe).
Und: Ein Schätzer muss nicht zwingend der Stichprobenmittelwert sein.

14.01.2013, 17:49

Kasen75

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@Anahita
Es ist in der Tat so, dass der Bias noch dazukommt:

$\begin{eqnarray*} MSE(\overline{X})=VAR(\overline{X})+\textrm{Bias}=VAR(\overline{X})+0 \end{eqnarray*}$

Hier ist er zum Glück Null.
Bezüglich dem Stichprobenmittel würde ich meine vorherige Aussage so stehen lassen.

14.01.2013, 17:56

Anahita

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Ja, weil der Stichprobenmittelwert erwartungstreu ist.
Ok, vielen Dank!

14.01.2013, 17:58

Kasen75

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Exakt.

Grüße.

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