Integral - Wann ist ein Betrag notwendig?

14.01.2013, 01:58

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral - Wann ist ein Betrag notwendig?

Hallo,

Ich verstehe diesen Bereich vom Integral nicht.

Wann ist ein Betrag wirklich notwendig?

Wie wird er angeschrieben?

-----------------------------------------------------------------

Wird dann nur das Ergebnis, welches negativ ist in ein positives umgewandelt. Also der Betrag genommen oder auch schon bei Teilergebnissen.

Bzw. Bei der untere bzw. oberen Grenze wenn diese negativ sind.

lg

14.01.2013, 03:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Tipso!

Deine Frage ist zwar nicht wirklich präzise formuliert, aber ich versuch trotzdem mal, dir zu helfen.

Ich gehe mal davon aus, dass du den Flächeninhalt unter einer Funktion berechnen willst.
Betrachten wir nun die Funktion $\begin{eqnarray*} y=f(x)=x^2-4x+1,75. \end{eqnarray*}$

Wir wollen den Flächeninhalt in den Grenzen von 0 bis 4 bestimmen.
Dazu muss man erstmal alle Nullstellen der Funktion bestimmen, die innerhalb dieser Grenzen liegen: Mithilfe der p-q-Formel kommt man auf $\begin{eqnarray*} x_1=0,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=3,5. \end{eqnarray*}$
Jetzt muss man für jeden Abschnitt einzeln den Flächeninhalt berechnen und die Werte addieren. Also ist $\begin{eqnarray*} A= \int_0^{0,5} \! x^2-4x+1,75 \, dx+\int_{0,5}^{3,5} \! x^2-4x+1,75 \, dx+\int_{3,5}^4 \! x^2-4x+1,75 \, dx. \end{eqnarray*}$
Allerdings fehlt jetzt hier noch etwas ganz Wichtiges: Wie du siehst, liegt die Fläche in den Grenzen von 0,5 bis 3,5 (das ist der 2. Summand) unterhalb der x-Achse. Deswegen kommt beidiesem Integral ein negativer Wert raus. Das Ergebnis wäre dann aber falsch, weil du ja diesen Flächeninhalt subtrahieren würdest, obwohl du addieren musst. Deswegen ist es hier sehr wichtig, Betragsstriche zu setzen, um das Ergebnis auf jeden Fall einen positiven Wert zu erhalten.
$\begin{eqnarray*} A= \int_0^{0,5} \! x^2-4x+1,75 \, dx+\left|\int_{0,5}^{3,5} \! x^2-4x+1,75 \, dx\right|+\int_{3,5}^4 \! x^2-4x+1,75 \, dx. \end{eqnarray*}$
Wenn du das jetzt berechnest, kommt der richtige Wert für den Flächeninhalt raus.

Also: Notwendig sind die Betragsstriche immer dann, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Aber da du das oft nicht weißt bzw. erst überlegen müsstest, wo welche Fläche liegt, empfiehlt es sich, bei jedem Summanden Betragsstriche zu setzen. Dann kannst du auch keinen Betragsstrich vergessen
$\begin{eqnarray*} A = \left|\int_0^{0,5} \! x^2-4x+1,75 \, dx\right|+\left|\int_{0,5}^{3,5} \! x^2-4x+1,75 \, dx\right|+\left|\int_{3,5}^4 \! x^2-4x+1,75 \, dx\right|. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tipso:
Bzw. Bei der untere bzw. oberen Grenze wenn diese negativ sind.

Nein, mit dem Vorzeichen der Integrationsgrenzen hat das gar nichts zu tun

LG

14.01.2013, 03:21

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

3.
Immer Betrag zu setzen will unser Lehrer nicht. Er besteht darauf zu erkennen wann eines notwendig ist und wann nicht.

Das wir den Betrag nehmen bedeutet nicht das wir jede negative Zahl die vorkommt in eine positive drehen sondern nur das Ergebnis unserer Berechnung von der Teilfläche die gerade berechnet wird.

Sehe ich dies richtig?

Zuletzt:
Die Begründung warum dies geschieht hängt doch mit dem +c zusammen, welches bedeutet ob wir unsere Funktion nach oben verschieben oder nicht macht keinen Unterschied.

lg

14.01.2013, 04:28

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
Die Begründung warum dies geschieht hängt doch mit dem +c zusammen, welches bedeutet ob wir unsere Funktion nach oben verschieben oder nicht macht keinen Unterschied.

War das jetzt eine Frage? Benutz' mal bitte deutsche Rechtschreibung und Grammatik (besonders Satzzeichen, dann wird vieles klarer).

Das hängt nicht mit dem +c zusammen. Denn das +c würdest du erst bei der Stammfunktion dranhängen, nicht schon bei der Ausgangsfunktion. Die Ausgangsfunktion bleibt somit immer gleich und damit auch das Vorzeichen des Integrals. Außerdem brauchst du bei einem bestimmten Integral keine Integrationskonstante, weil du diese ja dann sofort wieder subtrahieren würdest. Also: Eine Integrationskonstante nur bei unbestimmten Integralen benutzen.

Zitat:

Original von Tipso
Immer Betrag zu setzen will unser Lehrer nicht. Er besteht darauf zu erkennen wann eines notwendig ist und wann nicht.

Na gut, dann musst du wohl doch selbst erkennen, wann die Fläche unter der x-Achse liegt.
Du könntest auch erstmal jede Teilfläche einzeln ausrechnen und dir das Ergebnis jeder einzelnen Teilfläche aufschreiben. Dann siehst du ja, welche negativ sind und wo du demzufolge noch ein Betragszeichen setzen musst. Und dann zum Schluss addieren.

Aber eigentlich dürfte er in Tests etc. dir keine Punkte abziehen, wenn du überall Betragsstriche setzt, denn es ist ja dann nicht falsch. Aber mach lieber so, wie der Lehrer es gesagt hat, sicher ist sicher...

14.01.2013, 05:42

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Versuche auch an meiner Grammatik zu arbeiten, welches sehr schwach ist.
Tut mir leid, ich gebe mein Bestes.

Ich versuche genauer zu werden:

Ich habe diese beiden Funktionen gegeben und will die Fläche berechnen welche diese beiden einschließen. Warum brauche ich hier nur ein Integral und erhalte dann ein negatives Ergebnis, welches meine Fläche hergibt, nachdem ich dessen Betrag gezogen/genommen habe.

Richtig ist:

untere Grenze -5 bis obere Grenze 0.
Gerade - Funktion = Gesuchte Fläche.

$\begin{eqnarray*} \int_{-5}^{0} \! -x - \left(4x + x^2\right) \, dx \end{eqnarray*}$

Ps.
Bin mir nicht sicher ob diese $\begin{eqnarray*} \left(...\right) \end{eqnarray*}$ der Funktion wirklich notwendig ist.

Mein Vorschlag wäre aber:

Untere Grenze -5 bis zur oberen Grenze 0.
Gerade - Funktion + Betrag untere Grenze -4 bis obere Grenze 0 von Funktion.

$\begin{eqnarray*} \int_{-5}^{^0} \! -x - \left(4x + x^2\right) \, dx + | \int_{-4}^{0} \! f(x) \, \left(4x + x^2\right) | \end{eqnarray*}$

14.01.2013, 07:21

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
Versuche auch an meiner Grammatik zu arbeiten, welches sehr schwach ist.
Tut mir leid, ich gebe mein Bestes.

Ist doch schon viel besser geworden! Freude

Freude

Um die Fläche zwischen diesen beiden Funktionen zu bestimmen, muss man $\begin{eqnarray*} \int_0^5 \!-x \, dx -\int_0^5 \!4x+x^2 \, dx \end{eqnarray*}$ rechnen. Das kann man umformen zu
$\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! x-(4x+x^2) \, dx =\int_0^5 \! x-4x-x^2 \, dx =\int_0^5 \! -3x-x^2 \, dx. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \int_{-5}^{^0} \! -x - \left(4x + x^2\right) \, dx + | \int_{-4}^{0} \! f(x) \, \left(4x + x^2\right) | \end{eqnarray*}$

Nein. Das zweite Integral brauchst du hier nicht. Die Fläche unter der x-Achse wird bei dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^5 \!4x+x^2 \, dx \end{eqnarray*}$ schon berücksichtigt.
Beim Berechnen der Fläche zwischen zwei Funktionen musst du die Fläche nur unterteilen, wenn sich die Funktionen innerhalb der Integrationsgrenzen schneiden. Das ist hier aber nicht der Fall. Deswegen kannst du alles in einem Integral berechnen.

Anzeige

14.01.2013, 08:57

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Mein Problem nun:

Ich weiß welche Fläche von der Geraden bzw. Parabel bedeckt wird.

Ich verstehe jedoch nicht, warum ich von eine Fläche (Gerade) eine andere abziehe (Parabel) und eine negative Fläche erhalte.

Dabei bleibt mir der negative Teil von der Parabel erhalten...?

Ich ziehe aber die Flächen als Zahl von einander ab.

Ich hoffe meine Frage ist verständlich.

lg

14.01.2013, 10:35

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Hoffnung trügt ein bisschen ... verwirrt

verwirrt

1. Geraden oder Parabeln sind Linien und können deshalb keine Flächen bedecken - bestenfalls einschließen.

2. Von Funktionsgraphen eingeschlossene Flächen werden berechnet, indem man zuerst die Differenzfunktion der begrenzenden Funktionen bestimmt. (Die Differenzen habe ich mit roten Strecken angedeutet) Das Ergebnis ist die Differenzfunktion.

3. Die Nullstellen der Differenzfunktion sind gerade dort wo die begrenzenden Funktionsgraphen sich schneiden, d.h., wo die Funktionswerte der begrenzenden Funktionen gleich sind (grüne Linie).

4. Die Fläche, die von den begrenzenden Funktionsgraphen eingeschlossen wird, ist genauso groß wie die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Differenzfunktion (grau eingefärbte Flächen)

5. Es wird die Fläche zwischen x-Achse und Graph der Differenzfunktion berechnet.

14.01.2013, 17:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Sehr verständlich, danke.
Soweit verstehe ich was du meinst.

Nunja, Differenzfunktion f(g) - f(h) = a

Zitat:

Aber es geht ja auch ohne das Bilden von einer Differenzfunktion.

Mann nimmt einfach das Integral von der Geraden - das Integral von der Funktion und bilden den Betrag vom Ergebnis.

lg

Ps.
Bin erst wieder um 22 Uhr online.

14.01.2013, 18:53

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich empfehle bei der Fläche zwischen 2 Kurven immer das Integral der Differenzfunktion. --> Bürgi

1.) für die Schnittstellen brauchst du sowieso $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du auch gleich den linken Term als Integrand nehmen.

2.) In der Differenz lassen sich evtl. Terme zusammenfassen. ( vor allem bei Polynomen )

3.) und ganz grob: f(x) und g(x) könnten nicht integrierbare Terme enthalten, die sich aber in der Differenz aufheben:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^2+e^{-x^2} , \qquad g(x)=x+e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

zu beiden gibt es keine geschlossene Stammfunktion. Aber:

$\begin{eqnarray*} f(x)-g(x)= x^2-x \end{eqnarray*}$ ist locker integrierbar.

14.01.2013, 22:01

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für deine ausführliche Beschreibung.

Ich glaube, dass dies schon etwas fortgeschritten ist.

Hier eine Berechnung mit Graphen:

Mein Problem:

Ich verstehe nicht, warum die Fläche von meinem Dreieck abgezogen von der Fläche meiner Parabel ein negatives Ergebnis ist.

Warum es die gesuchte Fläche ergibt?

Weil:
$\begin{eqnarray*} k_1 = y = 4x + x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2 = y = -x \end{eqnarray*}$

Graphisch: Bild 1:

Mich interessiert dabei der negative Bereich von der Parabel.
Die wir ja auch von der Fläche die von der Geraden eingeschlossen wird abgezogen wird.

Aber mit dieser Fläche passiert nichts, obwohl wir eine subtrahiert wird.

Versuch es durch Differenzfunktion zu berechnen:

4x + x^2 - (-x) = 5x + x^2

Bild 2

Bild zwei zweigt, dass die Differenzfunktion größer als die Flächer der Parabel bzw. die Fläche welche die Parabel und die Gerade einschließt wiedergibt.

Ich verstehe nun, dass die Gerade - die Parabel = größere Fläche als die der Parabel oder der Gerade ergibt.

Dass "Warum" und verstehen bleibt aber immer noch leider aus. Dass ist mir aber sehr wichtig.

lg

15.01.2013, 00:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ein weiteres sehr anschauliches Beispiel:

A_1

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^0 \! x^3-2 \, dx -\int_{-1}^0 \! x - 2 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^4}{4} - 2x\right]_{-1}^{0} - \left[\frac{x^2}{2x} - 2\right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$

A_2

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 \! x-2 \, dx -\int_{0}^1 \! x^3 - 2 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{0}^{1} - \left[\frac{x^4}{4} - 2\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_1 + A_2 = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = | 2,25 | - | 2,5 | = 0,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 = | -1,5 | - | 1,75 | = 0,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Muss ich also auch von den einzelnen Teilergebnissen:

2,25; 2,5; 1,5; 1,75 den Betrag ziehen?
Warum?

Warum gilt dies?

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

= -1 - 1 = -2????
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! |x| \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

1 - (-1) = 2

lg

09.12.2015, 15:55

Flow1

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral
Also ich habe alle werte ausgerechnet und beim zweiten integral in der Mitte habe ich den Wert -4.5 heraus bekommen. Heißt das jetzt aufgrund der Betrags Striche wird dieser wert Positiv?
D.h.
A= | 0,416 | + | -4, 5 | + | 0,41667 |

A= 5,33267

09.12.2015, 16:04

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral
Willkommen im Matheboard!

Von welchem zweiten Integral in welcher Mitte redest Du?

Viele Grüße
Steffen

09.12.2015, 19:40

Flow1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral
Dankeschön smile

smile

Also es gibt drei verschiedene Teil-Rechnungen A1, A2 und A3.

Bei dem bestimmten Integral addiert man aufgrund der Betrags Striche alle Ergebnisse d.h. kommt ein positiver wert herraus. A(ges) = 5,33267
Bei dem Unbestimmten Integral würde der negative Wert von A2 das gesamt Ergebnis ins negative bewegen. A(ges) = -3,66733

Liege ich mit der Annahme richtig?

09.12.2015, 19:56

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral
Kann ich nicht sagen. Was sind das für drei Integrale? Haben die was mit der Aufgabe zu tun? Wo ist A3? Oder um was geht es eigentlich?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »