Geraden im R3

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Satz 2.4 Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden im R3
Meine Frage:
In R3 sind die Geraden g.(3,1,2) + R(1,0,1) und h: (-1,0,2) + R(1,2,-1) gegeben wobei die Gleichungen von g und h bezüglich dem kanonischen kartesischen Koordinatensystem K gelten.

a) Begründen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind.
b) Die Gerade k schneidet beide Geraden g und h jeweils senkrecht. Ermitteln Sie eine bezüglich K geltende Gleichung von k.
c) Berechnen Sie den Abstand der windschiefen Geraden g und h.


Meine Ideen:
Ich hab da meine Lösungsvorschläge als Jpg angehängt. Ihr könnt also gerne den Lösungsvorschlag downloaden und mit Paint etc korrigieren smile
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden im R3
zu a) richtig! Freude

zu b) Du schreibst "die Normalenvektoren von Geraden" und das sind im R³ ganz viele für jede Gerade.

Benutze stattdessen:

Wenn die Geraden und windschief sind, dann hat die Gerade, die die beiden Geraden g und h senkrecht schneidet den Richtungsvektor

Um die beiden Schnittpunkte zu bekommen konstruiere eine Gerade durch einen beliebigen Geradenpunkt von g mit der Richtung , die dann durch einen beliebigen Geradenpunkt von h laufen muss:



Löse diese Gleichung nach (r, s, t) auf.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden im R3
oder benutze ganz einfach 2-mal das skalarprodukt Augenzwinkern
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Hi, danke für eure Hilfe.
Ich werde es heute Abend nach der Arbeit genauer anschauen.
@ riwe: Wegen Skalarprodukt:
Meinst du
I: \vec{a}*(\vec{a} x \vec{b}) = 0 und
II: \vec{b}*(\vec{a} x \vec{b}) = 0 mit \vec{a} gegebener Richtungsvektor, und \vec{a} beliebig mit \vec{a} * \vec{b} = 0 ?

Ich verstehe zwar I: und II: aber ich frag mich ob die Bedingung nicht to much ist und wie gehe ich damit vor??
Könnt ihr mir da mal eine grobe Anleitung schreiben? Gerne mit Begründung.

@ Bürgi:
zu b) Unendlich viele, ja. Aber nur ein Vektor erfüllt dabei \vec{g} x \vec{a} = - (\vec{h} x \vec{b}) ??

Ich hab natürlich noch etwas weitergerechnet und auch eine Version gleich deinem Vorschlag ist, jedenfalls auf dem ersten Blick....leider bin ich auf keinen grünen Zweig gekommen...ich versuch´s heut abend nochmal und geb dann bescheid.

Thx nochmal :-)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das meine ich nicht unglücklich





damit erspart man sich den parameter t, wie er oben angegeben ist.

die idee dahinter sollte klar sein
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Ich wollte da noch was nachreichen...
Den anderen Weg versuche ich auch noch. Auch wenn mir die Idee dahinter noch nicht ganz klar ist....
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn ich mein zeug ausmultipliziere, bekomme ich:
r = -2 und s = 1
damit
was sogar stimmen dürfte Augenzwinkern
Satz 2.4 Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt an der fehlenden Bedingung, nicht?
Was ist denn nun die Idee dahinter? Ich würde es echt gerne nachvollziehen können aber ich scheine mich im Kreis zu drehen....

Dann ist das wohl net gut... Mist verwirrt Hammer
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

welche fehlende bedingung verwirrt
da fehlt doch nix!

die idee:
G liegt auf der geraden g, also erfüllt er diese geradengleichung, ebenso wie H auf h liegt.
wenn nun auf beide geraden senkrecht steht,
sind die entsprechenden skalarprodukte = 0.
damit ist aber auch sicher gestellt, dass G ung H die beiden gesuchten punkte sind.
so einfach geht´s Augenzwinkern
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Witzig. Das meinte ich! Hab mich wohl ein bischen falsch ausgedrückt und es dann nicht verstanden als du es mir vorturntest ROFL

P.S. Herzlichen Glückwunsch zum Geburtstag
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