Betragsungleichung Schema? x²-4|x-1| > 0

14.01.2013, 11:49

moncherie92

Betragsungleichung Schema? x²-4|x-1| > 0

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} x²-4| x-1 | > 0 \end{eqnarray*}$

Das Ziel wäre für mich ein Schema, was man auf die meisten Betragsungleichungen (ggf mit ein bisschen umdenken) übertragen kann.. Gibt es sowas?

Meine Ideen:
Um nicht unvorbereitet zu kommen, habe ich diese Aufgabe ein wenig vorbereitet und umgeformt, damit wird aus dem Grundterm erstmal:

$\begin{eqnarray*} | x-1 | < \frac{x²}{4} \end{eqnarray*}$

Das müsste soweit stimmen denk ich Big Laugh

Anschließend habe ich Fallunterscheidungen gemacht für:
1. |x-1| > 0 => x > 1

$\begin{eqnarray*} 4x-4 < x² <=> x*\left(x-4\right) > -4 \end{eqnarray*}$

Da komme ich dann schon nicht weiter, inwiefern kann ich damit auf x schließen? Ich habe dann auf meinem Zettel wieder ne quadratische Gleichung gemacht und die p-q-Formel angewandt, womit ich aber nur auf die Nullstellen käme.. Inwiefern sehe ich an den Nullstellen (wenn überhaupt möglich), ob ich dann kleiner oder größer dieser Nullstellen sein muss? Denn die Nullstellen können es ja nicht sein, da der Term echtgrößer 0 sein soll.

Anschließend habe ich die Fallunterscheidung auch für |x-1| < 0 gemacht, also x>1..
Ende dann auch in ner quadratischen Gleichung, so wie bei 1.)...

Muss ich auch noch den Fall |x-1| = 0 betrachten?

Mir wäre es einfach wichtig, da mal eine Art "Schema" bzw Vorgehen zu bekommen, wie man da Schritt für Schritt (wichtig für schwierigere Aufgaben nachher) durchkommt und das löst - gerne auch in geleiteter Eigenregie :P

LG
Marcel

14.01.2013, 12:22

Bürgi

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RE: Betragsungleichung Schema? x²-4|x-1| > 0
Du möchtest ein Schema, Schablone, Kochrezept, ... haben? Hier ist meins:

1. Schreibe den Betrag betragsfrei.

2. Schreibe Deine Ungleichung mit den betragsfreien Termen (und den dazugehörenden Teilmengen von IR) auf.

3. Löse die verschiedenen Ungleichungen unter Berücksichtigung der Teilmengen aus 2.

4. Fasse Deine Teillösungen aus 3. zusammen.

14.01.2013, 12:45

Kasen75

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@moncherie92

Zu der Frage:

Zitat:

Da komme ich dann schon nicht weiter, inwiefern kann ich damit auf x schließen?

Im ersten Fall hast du letztendlich diese Ungleichung stehen:

$\begin{eqnarray*} x^2-4x+4 > 0 \end{eqnarray*}$

Da vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ im Prinzip eine postive 1 steht, ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn du dir die Parabel im Geiste vorstellst, dann siehst du auch, dass links der kleineren Nullstelle und rechts der größeren Nullstelle die Parabel positiv ist.

Grüße.

14.01.2013, 15:22

original

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RE: Betragsungleichung Schema? x²-4|x-1| > 0

Zitat:

Original von moncherie92

$\begin{eqnarray*} x²-4| x-1 | > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x-1 | < \frac{x²}{4} \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich Fallunterscheidungen gemacht für:

1. |x-1| > 0 ..<- Beträge sind immer positiv !

Anschließend habe ich die Fallunterscheidung auch für |x-1| < 0 geschockt

gemacht,
also x>1.. unglücklich

Muss ich auch noch den Fall |x-1| = 0 betrachten?

... dass Beträge immer positiv sind -> ist etwas, was man dir wohl unbedingt zuerst mal sagen muss..

denn es scheint so, dass du das noch nicht mitbekommen hast ?

schau dir die Def. von |x| mal an .. zB:
http://de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunk...Betragsfunktion

also: das mit den Fallunterscheidungen geht hier zB so:

wenn der Term zwischen den Betragszeichen negativ ist, dann gilt:

|x-1| = - (x - 1) ... für alle x-1 <0 , dh für alle x<1

dh bei deiner Ungleichung

$\begin{eqnarray*} | x-1 | < \frac{x²}{4} \end{eqnarray*}$

folgt , wenn x < 1 ist =>

$\begin{eqnarray*} - x +1 < \frac{x²}{4} \end{eqnarray*}$

usw,usw..
.

14.01.2013, 16:01

moncherie92

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Zitat:

Beträge sind immer positiv !

Tut mir leid, das hatte ich dann etwas falsch aufgeschrieben.. Ich meinte natürlich, wenn der Term innerhalb der Betragstriche negativ wird in diesem Fall.

Zitat:

Du möchtest ein Schema, Schablone, Kochrezept, ... haben? Hier ist meins:

1. Schreibe den Betrag betragsfrei.

2. Schreibe Deine Ungleichung mit den betragsfreien Termen (und den dazugehörenden Teilmengen von IR) auf.

3. Löse die verschiedenen Ungleichungen unter Berücksichtigung der Teilmengen aus 2.

4. Fasse Deine Teillösungen aus 3. zusammen.

Danke. Zu Punkt drei habe ich noch eine Frage, die sich ebenfalls auf den Beitrag von Kasen75 bezieht:
Wenn es mal keine "einfache" quadratische Gleichung ist, bei der ich mir eine verschobene Parabel vorstellen kann, wie löse ich dann nach x? Gibt es da einen Weg zu, oder muss ich immer versuchen mir das vorzustellen?

LG

14.01.2013, 16:52

moncherie92

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So, ich habe mal probiert, das Beispiel anhand der Schritte von Bürgi zu lösen:

Die Ausgangsgleichung habe ich in 2 Ungleichungen geschrieben (einmal für (x-1)<0 und einmal für (x-1)>=0.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} (x-1)<0 => x<1 \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann nach umformen auf:
$\begin{eqnarray*} -2 \pm \sqrt{8} \end{eqnarray*}$
als Nullstellen. Da ich ja nun weiß, dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist, ergibt sich für x der Definitionsbereich:
$\begin{eqnarray*} x\in \left(-\infty , -2-\sqrt{8} \right) U \left(-2+\sqrt{8} , \infty \right) \end{eqnarray*}$

Da x<1 aus der Fallbedingung gilt, ergibt sich also:
$\begin{eqnarray*} x\in \left(-\infty , -2-\sqrt{8} \right) U \left(-2+\sqrt{8} , 1 \right) \end{eqnarray*}$
Oder?

Fall 2: $\begin{eqnarray*} (x-1) \geq 1 => x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Hier komme ich auf die Nullstelle 2. Auch hier liegt der positive Bereich links und rechts der Nullstelle und die Nullstelle gehört nicht dazu.
Somit ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R ohne \left\{ 2\right\} \end{eqnarray*}$

Mit der Ausgangsbedingung $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ folgt also:
$\begin{eqnarray*} x \in \left(1,2\right) U \left(2,\infty \right) \end{eqnarray*}$

Zur Gesamtlösung müsste man doch nun beide Fälle zusammenziehen, oder?
Damit hätte ich aber ein paar Widersprüche so wie ich das sehe.. Bildet man vll dann die Schnittmenge?

LG
Marcel

14.01.2013, 18:13

original

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... du hast (fast) alles perfekt gemacht :

nur: da bei deiner Ungleichung auch das " = " dabei ist,
gehört der Wert mit x=2 dann doch auch zur Lösungsmenge ..

die Gesamtlösung kannst du dann als VEREINIGUNGSMENGE deiner beiden Teil-Lösungen notieren

wo du da allerdings irgendwelche Widersprüche sehen willst, bleibt wohl dein Geheimnis ? smile

14.01.2013, 20:09

moncherie92

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Zitat:

Original von original
nur: da bei deiner Ungleichung auch das " = " dabei ist,
gehört der Wert mit x=2 dann doch auch zur Lösungsmenge ..
.

Unabhängig davon, dass die Ausgangsgleichtung echtgrößer 0 ist?
Denn ich hab ja dann ne Parabel die die x-Achse bei x=2 schneidet.. das wäre ja nicht echtgrößer 0..

Weiß nichtmehr, was ich mir da gedacht hatte Big Laugh

Eine Frage noch.. Gehören die "Ausgangsbedingungen" der einzelnen Fälle (x < 0, x >= 0) zur Lösungsmenge?

LG

14.01.2013, 20:34

original

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.
...dass die Ausgangsgleichtung echtgrößer 0 ist?

stimmt: $\begin{eqnarray*} | x-1 | < \frac{x²}{4} \end{eqnarray*}$

.. da steht ja gar kein"=" -> also gehört die x=2 nicht zur Lösungsmenge

und nein: beim Schlussergebnis spielen die x>1 oder x<1 keine Rolle
du schreibst mit der Vereinigungsmenge ja alle x auf, für die die Ungleichung erfüllt ist - fertig. smile

14.01.2013, 20:38

moncherie92

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Zitat:

Original von moncherie92
$\begin{eqnarray*} x\in \left(-\infty , -2-\sqrt{8} \right) U \left(-2+\sqrt{8} , \infty \right) \end{eqnarray*}$

Da x<1 aus der Fallbedingung gilt, ergibt sich also:
$\begin{eqnarray*} x\in \left(-\infty , -2-\sqrt{8} \right) U \left(-2+\sqrt{8} , 1 \right) \end{eqnarray*}$
Oder?
l

Also gilt dort die obere Gleichung für die Lösungsmenge?

Habe nochmal eine andere Aufgabe, wäre nett wenn du mir noch sagen könntest, ob das so passt smile

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{| 4x+2 | } < 2 \end{eqnarray*}$

Die Fallunterscheidungen aufzuschreiben spare ich mir erstmal, das kann ich machen, falls etwas nicht passt..
Habe als Ergebnis dann raus:

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R ohne \left\{ -\frac{1}{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung wie der Backslash in Latex darzustellen ist, der verschwindet immer Big Laugh

14.01.2013, 20:46

original

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passt

14.01.2013, 21:14

moncherie92

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Spitzenklasse!

Muss dich aber noch weiter belästigen Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{1+|x|}{1+x} < 2 \end{eqnarray*}$

Da bekomme ich für x >= 0 dann jedoch raus, dass x > -1 sein muss.
Wenn ich aber kleinere Werte einsetze, dann passt es trotzdem (Bsp mit -2 => -3<2 => wahre Aussage)..

Hier meine Rechnung zu diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} |x| < 2x+1 => x < 2x+1 => -x < 1 => x > -1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich was mega stumpfes falsch gemacht habe, dann hör ich für heute auf meinen Kopf zu vergewaltigen und lass dich in Frieden :P

LG

14.01.2013, 23:16

original

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Zitat:

Original von moncherie92

$\begin{eqnarray*} \frac{1+|x|}{1+x} < 2 \end{eqnarray*}$

Hier meine Rechnung zu diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} |x| < 2x+1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

->
deine Umformung ist nur richtig, wenn 1+x > 0 ist ..

aber:
dann, denn wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst (hier also wenn 1+x<0 ),
dann ändert die Richtung der Ungleichung - hast du das vergessen?

überlege nun also neu solange, bis du diese Gesamt - Lösungsmenge gefunden hast:

alle x mit x< -1 ODER alle x in ( -1/3 ; + oo)
........................................................................ smile

15.01.2013, 12:03

moncherie92

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Zitat:

Original von original
deine Umformung ist nur richtig, wenn 1+x > 0 ist ..

aber:
dann, denn wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst (hier also wenn 1+x<0 ),
dann ändert die Richtung der Ungleichung - hast du das vergessen?

Das habe ich tatsälich vergessen Big Laugh

War wohl doch etwas lang gestern..
Ich werde das ganze nach der Arbeit noch zu Papier bringen und einstellen.. müssten ja dann im Prinzip noch zwei Fallunterscheidungen (1+x>/<0) sein..Bin da optimistisch!

Danke dir smile

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