Folgenkriterium abgeschlossene Menge

14.01.2013, 12:17	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkriterium abgeschlossene Menge Meine Frage: Hallo Leute, ich finde gerade den passenden Satz nicht, aber ich meine mich zu erinnern gelesen zu haben, dass eine Menge M abgeschlossen ist, wenn der GW einer Folge in M auch in M liegt. Also ist z.B. das Intervall $\begin{eqnarray} M = [1,b) \end{eqnarray}$ genau dann abgeschlossen, wenn eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ existiert, die gegen b konvergiert und $\begin{eqnarray} (x_n) \in M , \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Danke für die Hilfe! Ich brauche das um einen Beweis zu verstehen. Wenn das passt was oben steht, dann frage ich weiter!
14.01.2013, 12:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgenkriterium abgeschlossene Menge Der Satz geht folgendermaßen: $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge $\begin{eqnarray} (x_n)\subset M \end{eqnarray}$ wiederum in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegt - dabei ist nur die Konvergenz der Folge im betrachteten topologischen Raum gefordert.
14.01.2013, 13:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgenkriterium abgeschlossene Menge dann ist mein Bsp. ja korrekt oder?
14.01.2013, 14:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgenkriterium abgeschlossene Menge Nein, wenn es eine Folge in diesem Intervall gibt, die gegen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ konvergiert ist das Intervall gerde nicht abgeschlossen. Es ist nur die Frage, in welchem Raum das Intervall betrachtet wird. Z.B. ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ abgeschlossen in $\begin{eqnarray} (-1,b) \end{eqnarray}$ , offen in $\begin{eqnarray} [1,b+1) \end{eqnarray}$ , weder offen noch abgeschlossen in $\begin{eqnarray} [-1,b+1) \end{eqnarray}$ und sowohl offen als auch abgeschlossen in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ selbst.

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