Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge |
14.01.2013, 14:43 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Es sei o<a<1 und =1 , := Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge () auf Konvergenz oder Divergenz und bestimmen Sie ggf. Ihren Grenzwert! Wäre dankbar für jeden Ansatz! Medphys |
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14.01.2013, 14:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge In solchen Fällen zeigt man meist Monotonie und Beschränktheit der Folge (mache dir ggf. klar, was das bringt). Da ist Induktion oft hilfreich. Zur Berechnung des Grenzwertes: Ist der Grenzwert, dann ist . |
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14.01.2013, 15:16 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Danke für die schnelle Antwort. Ich habe schonmal probiert einen Induktionsanfang zu starten aber bei dem Schritt bin ich mir nicht ganz sicher Also: Induktionsanfang für n =1 : Das lässt schonmal vermuten, dass die Folge monoton fallend ist. Muss ich dann bei dem Induktionsschrit zeigen, dass folgendes gilt: ? wenn das alles so wäre ist dann meine Induktionsvorraussetzung: und die kann ich dann da einsetzen oder hab ich da was falsch gemacht? Medphys |
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14.01.2013, 15:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Deine Induktionsvoraussetzung ist . Der Anfang stimmt, ich hätte rechts aber geschrieben. |
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14.01.2013, 15:35 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Okay, also muss ich im Induktionsschritt zeigen, dass richtig? Und wenn ich dann gezeigt hab dass die Folge monoton fallend ist muss ich noch zeigen, dass die Folge beschränkt ist und dann weiß ich, dass sie konvergiert oder? |
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14.01.2013, 15:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Genau. |
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14.01.2013, 16:20 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Ich habe jetzt probiert soweit umzuformen, dass ich erkennen kann, dass ist, aber ich sehe es nicht. Oder muss ich im Schritt andere Umformungen machen? Ich habe nämlich folgendes für raus: ist das soweit richtig? |
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14.01.2013, 17:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht so richtig zu erkennen, wohin das führen soll. Wenn man nutzt, dass die Kehrwertfunktion für positive Argumente streng monoton fallend ist, dann kann man aus folgern Dieses Prinzip lässt sich übrigens zu einem für viele derartig rekursiv definierte Folgen anwendbaren Rezept verallgemeinern:
Im vorliegenden Fall ist diese streng monoton wachsende Funktion auf dem Intervall . |
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14.01.2013, 17:33 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Ich habe doch für den Induktionsschritt eine andere Idee: Meine Induktionsvorraussetzung ist ja und ich muss zeigen, dass ist. Kann ich dann nicht einfach schreiben: ist und bin fertig? Wobei ich bei dem Ungleichheitszeichen meine Induktionsvorraussetzung eingesetzt habe. |
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14.01.2013, 18:01 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge So einfach geht das nicht. Du machst in deiner letzten Ungleichung sowohl den Zähler als auch den Nenner größer. Dann kannst du noch nicht direkt wissen, ob der gesamte Bruch auch größer wird. |
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14.01.2013, 18:12 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Also, ich habe jetzt den Weg von HAL 9000 nachvollzogen und somit ist die Folge monoton fallend. Jetzt muss ich noch zeigen, dass sie beschränkt ist und dabei habe ich auch Probleme. Ich weiß, dass das größte Folgenglied ist, weil die Folge monoton fallend ist. Untere Schranken gibt es eigentlich viele oder? Kann ich mir jetzt irgendeinen Wert aussuchen und überprüfen ob kein Folgenglied mehr kleiner ist? Oder gibt es vielleicht einen sinnvollen Wert, den man direkt ablesen kann? Wenn aber kein Folgenglied unter der von mir gewählten Schranke sich befindet, dann habe ich doch insgesamt gezeigt, dass die Folge konvergiert. Ist da so richtig? |
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14.01.2013, 18:17 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Der Gedankengang stimmt. Eine untere Schranke solltest du aber durchaus finden können. Ja, es gibt unendlich viele, eine sticht aber hervor. |
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14.01.2013, 18:34 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Wenn ich als untere Schranke die 0 wähle dann kann ich eine Ungleichung aufstellen mit: Wenn ich in die Ungleichung für die Bildungsvorschrift einsetze und umforme komme ich auf: Ist das richtig? |
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14.01.2013, 18:40 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Die Null als untere Schranke klingt schonmal gut. Dem Rest deiner Ausführungen kann ich nicht folgen. Führe doch eine "Mini-Induktion" dazu durch. |
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14.01.2013, 18:50 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Ich habe: Verstehe leider nicht was du mit Miniinduktion weiß, oder wie ich das sonst noch lösen kann |
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14.01.2013, 18:57 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Achso ich glaube ich habe es verstanden: Der Induktionsanfang: Induktionsschritt: ist nach Vorraussetzung >0 und da 0<a<1 ist, ist auch Meinst du das so? |
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14.01.2013, 19:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Das sieht schon besser aus. Aber musst du nicht explizit zeigen. |
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14.01.2013, 21:51 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Ich habe leider auch noch Probleme bei der Bestimmung des Grenzwertes, da ich das noch nie bei einer Folge gemacht habe, bei der nur der Laufindex gegen läuft. Könnte mir vielleicht noch einer einen kleinen Denkanstoß geben? Die Information aus der ersten Antwort: kann leider nur nicht viel mit anfangen |
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14.01.2013, 22:13 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenz/Divergenz für rekursiv definierte Folge Dann schreibe um, vielleicht siehst du es dann. |
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14.01.2013, 22:25 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay ich versuchs mal: Also ist da ich aber gezeigt habe, dass 0 eine untere Schranke ist, ist richtig? |
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14.01.2013, 22:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt passt es endlich. |
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14.01.2013, 22:35 | medphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja aber wirklich endlich Danke für die Hilfe! |
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