Variationsrechnung

14.01.2013, 15:38	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Variationsrechnung Hi Ich bin eine Einführung zu der Variationsrechnung am Lesen und hier steht: "If we were not familiar with the rules of ordinary calculus, we could evaluate a conventional derivative dy/dx by making a small change epsilon to the variable x and then expanding in powers of epsilon, so that: $\begin{eqnarray} y(x + \epsilon) = y(x) + \frac{dy}{dx}\epsilon + O(\epsilon^2) \end{eqnarray}$ and finally taking the limit $\begin{eqnarray} \epsilon \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ ." Die Formel hat mich sehr an die Taylorentwicklung erinnert, aber so ganz scheint sie nicht mit dieser übereinzustimmen, wenn ich mich nicht täusche..? Vielen Dank -A
14.01.2013, 18:07	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin! Das erinnert an die Definition der Fréchet-Ableitung. Ist halt ein neuer Ableitungsbegriff, der da eingeführt wird - steht nirgends der Name?
14.01.2013, 18:41	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Nein, da steht leider nirgends ein Name. Ich bin aber mittlerweile das da am Lesen: http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method Meinst du nicht, dass es diese Methode ist? Ev. hängt das ja zusammen, den Artikel den du gepostet hast ist aber für mich zu fortgeschritten..
14.01.2013, 19:22	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
"Dass es diese Methode ist"? Ich sehe bei dir nur eine Definition - Fréchet-Ableitung und "normale" Ableitung fallen im Fall von reellen Funktionen zusammen. Wofür der Begriff genutzt wird, kann ich nicht sagen - möglich ist es jedenfalls, dass deine Quelle zu finiten Elementen führt ... Da du aber als Titel "Variationsrechnung" gewählt hast, und es da um Funktionale geht, reicht dir der klassiche Begriff der Ableitung nicht - gerade für diesen Fall führt man die Fréchet-Ableitung ein, um auch in unendlichdimensionalen Räumen differenzieren zu können.
14.01.2013, 21:36	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Das Zitat ist aus dem Anhang eines Statistik/Machine-Learning Buches, welcher mit "Calculus of Variations" betitelt ist. In diesem Anhang werden schlussendlich dann die Euler-Lagrange Gleichungen hergeleitet. Dabei möchte ich diesen Anhang verstehen, da im Zusammenhang mit der Regressionsanalyse von diesen Methoden Gebrauch gemacht werden. In dem Artikel "Finite difference method" ist mir ganz zu Beginn aufgefallen, dass eine Funktion wie folgt entwickelt wird: $\begin{eqnarray} f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})}{1!}h + R_{n}(x) \end{eqnarray}$ was der zitierten Stelle im Buch entspricht, und ich nicht nachvollziehen konnte, weil eine Taylorentwicklung nicht so aussehen würde. In diesem Wikipedia-Artikel wird ja nicht auf Fréchet-Ableitung eingegangen, obwohl es wirklich nach dieser Definition der Ableitung aussieht. Gruss A

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