Differentialgleichungen mit Anfangswerten

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HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen mit Anfangswerten
Ich habe noch nicht wirklich durchschaucht wie man erkennt, welche die richtige(n) Lösungsmethode(n) für die diversen Varianten, in denen Differentialgleichungen auftauchen können, sind.

Wäre daher über Hilfe zu nachfolgenden zwei Differentialgleichungen sehr dankbar!

[attach]27838[/attach]


Mit welchem Methoden können DGL 1. und 2. gelöst werden (jene, die für einen Wirtschaftsingenieur-Studenten auch relevant sind) und woran erkennt man, dass diese Methoden anwendbar sind?

Vielen Dank!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen mit Anfangswerten
Ich würde hier auf beiden Seiten nach integrieren.

Lösungsmethoden gibt es viele, am wichtigsten sind aber die Trennung der Veränderlichen, bestimmte Ansätze (meist für lineare DGLs mit homogenen Koeffizienten) und Kreativität.
Die Variation der Konstanten gibt es auch, die ist aber ein wenig umständlich.

Ein paar Beispiele/Methoden findest du auf meiner Webseite, vielleicht trage ich auch mal etwas speziell zu Lösungsmethoden zusammen.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Es mag ganz trivial sein, aber ich versteh gerade nicht, wie man hier beide Seiten nach y integriert .... Hammer
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Bilde "einfach" auf beiden Seiten der Gleichung (z.B. der ersten) die Stammfunktion bezüglich der Variablen .
Wenn z.B. gegeben wäre, könnte man dies zu integrieren.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, was ist denn die Stammfunktion von ?

Würd ich das mit partieller Integration lösen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denke lieber an die Kettenregel.
 
 
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »



Ich seh leider nicht, wo hier eine Verkettung von Funktionen stattfindet. Deshalb weiß ich auch nicht, wie ich die Kettenregel anwenden soll.

Für mich schaut dies eher nach einem Produkt von zwei Funktionen aus, daher der Vorschlag mit der partiellen Integration?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann führe die mal durch.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

y=u
1=u'

y'=v'
y=v

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen von fehlenden Differentialen: ja.
Siehst du jetzt, wo ich die Kettenregel einsetzen wollte?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Abgesehen von fehlenden Differentialen: ja.

verwirrt

Zitat:
Original von Che Netzer
Abgesehen von fehlenden Differentialen: ja.
Siehst du jetzt, wo ich die Kettenregel einsetzen wollte?

Nein, um ehrlich zu sein.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das fehlt (vielleicht entstand auch Verwirrung, als ich meinte, du solltest nach integrieren – da meinte ich ).
Edit: Oder meinetwegen statt .

Und leite doch mal ab.
Eine Stammfunktion von sollte man aber eigentlich auch sehen können.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Und leite doch mal ab.
Eine Stammfunktion von sollte man aber eigentlich auch sehen können.


Die Ableitung ist 2y. Wobei ich hier nach wie vor nicht die Kettenregel sehe.


Zitat:
Original von Che Netzer
Ich würde hier auf beiden Seiten nach integrieren.





Stimmt das so?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HansimGlück
Die Ableitung ist 2y. Wobei ich hier nach wie vor nicht die Kettenregel sehe.

Wie gesagt: Die Ableitung und die Integration ist nach dem Argument von zu verstehen.
Das wäre alles auch viel deutlicher, wenn du das Differential mitgeschrieben hättest.


Zitat:




Stimmt das so?

Die erste Gleichung schon, danach kannst du aber nicht mehr weiterintegrieren. Benutze stattdessen die Trennung der Veränderlichen.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Wie gesagt: Die Ableitung und die Integration ist nach dem Argument von zu verstehen.
Das wäre alles auch viel deutlicher, wenn du das Differential mitgeschrieben hättest.

Ja, stimmt.


Zitat:
Original von Che Netzer
Die erste Gleichung schon, danach kannst du aber nicht mehr weiterintegrieren. Benutze stattdessen die Trennung der Veränderlichen.




Trennung der Veränderlichen haut bei mir nicht hin. Muss ich hier eine Substitution durchführen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Formuliere doch mal etwas ausführlicher, was du mit "haut nicht hin" meinst. Wo ist das Problem?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler, ich wollte die Integrationskonstante ebenfalls mitintegrieren und das hat zu Problemen geführt.



Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integrationskonstante solltest du tatsächlich berücksichtigen...
(ggf. ist eine Fallunterscheidung für hilfreich)
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Lt. Wolfram Alpha ist die Lösung der DGL




Irgendwas kann da nicht stimmen? verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich auch so.
Und zwar stimmt da nicht, dass du meinen letzten Beitrag zu ignorieren scheinst.
Zeige doch mal deine Rechnung zur Trennung der Veränderlichen. Die Integrationskonstante musst du dabei natürlich auch berücksichtigen.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war nicht meine Absicht dein Post zu ignorieren.






Hier bin ich gescheitert, die Variablen zu trennen und deswegen hats nicht "hingehaut".
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann teile durch .
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du hier durch teilen?

Dann erhalte ich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du das verändert, auch wenn das nicht tragisch ist...
Und nun integrier doch einfach.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »





Wird c als eine Konstante oder als eine Funktion von y gesehen?

Ich hab mal ersteres angenommen.




Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Denk doch nochmal über nach...
Und ist eine Konstante, also nicht von abhängig.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die Umformung ist nicht zulässig ... -.-




Ich weiß nicht, was die Stammfunktion von diesem Integral ist.




Danke dir für die Geduld ...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Würdest du die von kennen?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Würdest du die von kennen?





So, nach bisschen herumexperimentieren mit Wolfram Alpha. Ein Bruch der Form


wird so integriert:



Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Setze doch einfach mal die Anfangsbedingungen ein verwirrt
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wo denn?
Was genau ist nun mein Ausdruck für y(x) und y'(x)?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mal zusammengefasst: Um den erhaltenen Ausdruck integrieren zu können, stört das . Für erhält man einen Kehrwert als Integral, für positives einen Arcustangens, für negatives Logarithmen nach Partialbruchzerlegung.
Um Jetzt zu bestimmen, setze die beiden Anfangsbedingungen in die DGL ein.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

y'(0)=1




Ich glaube nicht, dass das so stimmt. Verstehe jedoch nicht, wie ich sonstin die DGL einsetzen soll. Irgendwo brauche ich doch ein x, dass ich 0 setze?...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so, . Jetzt kannst du hoffentlich leichter lösen.
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