Differentialgleichungen mit Anfangswerten

14.01.2013, 18:44

HansimGlück

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Differentialgleichungen mit Anfangswerten

Ich habe noch nicht wirklich durchschaucht wie man erkennt, welche die richtige(n) Lösungsmethode(n) für die diversen Varianten, in denen Differentialgleichungen auftauchen können, sind.

Wäre daher über Hilfe zu nachfolgenden zwei Differentialgleichungen sehr dankbar!

[attach]27838[/attach]

Mit welchem Methoden können DGL 1. und 2. gelöst werden (jene, die für einen Wirtschaftsingenieur-Studenten auch relevant sind) und woran erkennt man, dass diese Methoden anwendbar sind?

Vielen Dank!

14.01.2013, 20:07

Che Netzer

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RE: Differentialgleichungen mit Anfangswerten
Ich würde hier auf beiden Seiten nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrieren.

Lösungsmethoden gibt es viele, am wichtigsten sind aber die Trennung der Veränderlichen, bestimmte Ansätze (meist für lineare DGLs mit homogenen Koeffizienten) und Kreativität.
Die Variation der Konstanten gibt es auch, die ist aber ein wenig umständlich.

Ein paar Beispiele/Methoden findest du auf meiner Webseite, vielleicht trage ich auch mal etwas speziell zu Lösungsmethoden zusammen.

14.01.2013, 20:34

HansimGlück

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Es mag ganz trivial sein, aber ich versteh gerade nicht, wie man hier beide Seiten nach y integriert .... Hammer

Hammer

14.01.2013, 21:26

Che Netzer

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Bilde "einfach" auf beiden Seiten der Gleichung (z.B. der ersten) die Stammfunktion bezüglich der Variablen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} y'=y'' \end{eqnarray*}$ gegeben wäre, könnte man dies zu $\begin{eqnarray*} y=y'+\mathrm{const} \end{eqnarray*}$ integrieren.

14.01.2013, 22:14

HansimGlück

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Hm, was ist denn die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} y'y \end{eqnarray*}$ ?

Würd ich das mit partieller Integration lösen?

14.01.2013, 22:15

Che Netzer

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Nein, denke lieber an die Kettenregel.

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14.01.2013, 22:31

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} y'y \end{eqnarray*}$

Ich seh leider nicht, wo hier eine Verkettung von Funktionen stattfindet. Deshalb weiß ich auch nicht, wie ich die Kettenregel anwenden soll.

Für mich schaut dies eher nach einem Produkt von zwei Funktionen aus, daher der Vorschlag mit der partiellen Integration?

14.01.2013, 22:32

Che Netzer

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Na gut, dann führe die mal durch.

14.01.2013, 22:58

HansimGlück

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y=u
1=u'

y'=v'
y=v

$\begin{eqnarray*} \int y'y=y*y-\int y=y^2-\frac{y^2}{2}+c =\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

14.01.2013, 23:03

Che Netzer

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Abgesehen von fehlenden Differentialen: ja.
Siehst du jetzt, wo ich die Kettenregel einsetzen wollte?

14.01.2013, 23:10

HansimGlück

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Zitat:

Original von Che Netzer
Abgesehen von fehlenden Differentialen: ja.

verwirrt

Zitat:

Original von Che Netzer
Abgesehen von fehlenden Differentialen: ja.
Siehst du jetzt, wo ich die Kettenregel einsetzen wollte?

Nein, um ehrlich zu sein.

14.01.2013, 23:24

Che Netzer

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Das $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ fehlt (vielleicht entstand auch Verwirrung, als ich meinte, du solltest nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrieren – da meinte ich $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ).
Edit: Oder meinetwegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Und leite doch mal $\begin{eqnarray*} y^2+c \end{eqnarray*}$ ab.
Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} y'y \end{eqnarray*}$ sollte man aber eigentlich auch sehen können.

15.01.2013, 00:01

HansimGlück

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Zitat:

Original von Che Netzer
Und leite doch mal $\begin{eqnarray*} y^2+c \end{eqnarray*}$ ab.
Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} y'y \end{eqnarray*}$ sollte man aber eigentlich auch sehen können.

Die Ableitung ist 2y. Wobei ich hier nach wie vor nicht die Kettenregel sehe.

Zitat:

Original von Che Netzer
Ich würde hier auf beiden Seiten nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrieren.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{y^3}{6}+c*x \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

15.01.2013, 00:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von HansimGlück
Die Ableitung ist 2y. Wobei ich hier nach wie vor nicht die Kettenregel sehe.

Wie gesagt: Die Ableitung und die Integration ist nach dem Argument von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu verstehen.
Das wäre alles auch viel deutlicher, wenn du das Differential mitgeschrieben hättest.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{y^3}{6}+c*x \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Die erste Gleichung schon, danach kannst du aber nicht mehr weiterintegrieren. Benutze stattdessen die Trennung der Veränderlichen.

15.01.2013, 12:03

HansimGlück

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wie gesagt: Die Ableitung und die Integration ist nach dem Argument von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu verstehen.
Das wäre alles auch viel deutlicher, wenn du das Differential mitgeschrieben hättest.

Ja, stimmt.

Zitat:

Original von Che Netzer
Die erste Gleichung schon, danach kannst du aber nicht mehr weiterintegrieren. Benutze stattdessen die Trennung der Veränderlichen.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

Trennung der Veränderlichen haut bei mir nicht hin. Muss ich hier eine Substitution durchführen?

15.01.2013, 17:01

Che Netzer

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Formuliere doch mal etwas ausführlicher, was du mit "haut nicht hin" meinst. Wo ist das Problem?

15.01.2013, 21:32

HansimGlück

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Mein Fehler, ich wollte die Integrationskonstante ebenfalls mitintegrieren und das hat zu Problemen geführt.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-2}{x}+c \end{eqnarray*}$

15.01.2013, 21:37

Che Netzer

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Die Integrationskonstante solltest du tatsächlich berücksichtigen...
(ggf. ist eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ hilfreich)

15.01.2013, 22:51

HansimGlück

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Lt. Wolfram Alpha ist die Lösung der DGL $\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x) = \sqrt{2} \sqrt{c} tan ( \frac{1}{2}(\sqrt{2}\sqrt{c} k_1 + \sqrt{2} \sqrt{c} x)) \end{eqnarray*}$

Irgendwas kann da nicht stimmen? verwirrt

verwirrt

15.01.2013, 22:53

Che Netzer

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Sehe ich auch so.
Und zwar stimmt da nicht, dass du meinen letzten Beitrag zu ignorieren scheinst.
Zeige doch mal deine Rechnung zur Trennung der Veränderlichen. Die Integrationskonstante musst du dabei natürlich auch berücksichtigen.

15.01.2013, 23:24

HansimGlück

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Sorry, war nicht meine Absicht dein Post zu ignorieren.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy = \frac{y^2}{2}dx + c dx \end{eqnarray*}$

Hier bin ich gescheitert, die Variablen zu trennen und deswegen hats nicht "hingehaut".

15.01.2013, 23:27

Che Netzer

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Dann teile durch $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}2+c \end{eqnarray*}$ .

15.01.2013, 23:41

HansimGlück

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Meinst du hier $\begin{eqnarray*} y'=\frac{y^2}{2}+c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{y^2}2+c \end{eqnarray*}$ teilen?

Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{2y'}{y^2+c}=1 \end{eqnarray*}$

15.01.2013, 23:44

Che Netzer

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Jetzt hast du das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ verändert, auch wenn das nicht tragisch ist...
Und nun integrier doch einfach.

16.01.2013, 00:02

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} \frac{2y'}{y^2+c}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{y^2+c}dy=\int 1dx \end{eqnarray*}$

Wird c als eine Konstante oder als eine Funktion von y gesehen?

Ich hab mal ersteres angenommen.
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{y^2} + \frac{2}{c}dy=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{y^2} dy +\frac{2}{c} \int dy=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{y}+d + \frac{2}{c}y=x \end{eqnarray*}$

16.01.2013, 05:46

Che Netzer

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Denk doch nochmal über $\begin{eqnarray*} \frac2{y^2+c}=\frac2{y^2}+\frac2c \end{eqnarray*}$ nach...
Und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, also nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängig.

16.01.2013, 08:37

HansimGlück

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Stimmt, die Umformung ist nicht zulässig ... -.-

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{y^2+c}dy \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, was die Stammfunktion von diesem Integral ist.

Danke dir für die Geduld ...

16.01.2013, 12:01

Che Netzer

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Würdest du die von $\begin{eqnarray*} \frac1{1+y^2} \end{eqnarray*}$ kennen?

16.01.2013, 12:47

HansimGlück

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Zitat:

Original von Che Netzer
Würdest du die von $\begin{eqnarray*} \frac1{1+y^2} \end{eqnarray*}$ kennen?

$\begin{eqnarray*} Arctan (y) + c \end{eqnarray*}$

So, nach bisschen herumexperimentieren mit Wolfram Alpha. Ein Bruch der Form
$\begin{eqnarray*} \frac {a}{b+y^2} \end{eqnarray*}$

wird so integriert:
$\begin{eqnarray*} \frac{a * tan^{-1}(\frac{y^2}{\sqrt{b}})}{\sqrt {b}} + Konstante \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{y^2+c}dy = \frac{2*tan^{-1}{(\frac{y^2}{\sqrt{c}}})}{\sqrt{c}} + K \end{eqnarray*}$

16.01.2013, 12:52

Che Netzer

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Setze doch einfach mal die Anfangsbedingungen ein verwirrt

verwirrt

16.01.2013, 12:57

HansimGlück

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Hm, wo denn?
Was genau ist nun mein Ausdruck für y(x) und y'(x)?

16.01.2013, 13:01

Che Netzer

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Mal zusammengefasst: Um den erhaltenen Ausdruck integrieren zu können, stört das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ erhält man einen Kehrwert als Integral, für positives $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einen Arcustangens, für negatives Logarithmen nach Partialbruchzerlegung.
Um Jetzt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, setze die beiden Anfangsbedingungen in die DGL $\begin{eqnarray*} y'=y^2+c \end{eqnarray*}$ ein.

16.01.2013, 13:49

HansimGlück

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y'(0)=1
$\begin{eqnarray*} y'(0)=y^2(0)+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=0+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=c \end{eqnarray*}$

Ich glaube nicht, dass das so stimmt. Verstehe jedoch nicht, wie ich sonstin die DGL $\begin{eqnarray*} y'=y^2+c \end{eqnarray*}$ einsetzen soll. Irgendwo brauche ich doch ein x, dass ich 0 setze?...

16.01.2013, 17:15

Che Netzer

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Das stimmt so, $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} y'=y^2+1 \end{eqnarray*}$ hoffentlich leichter lösen.

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