Entwicklungsstelle (Potenzreihe)

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Herr Dings Auf diesen Beitrag antworten »
Entwicklungsstelle (Potenzreihe)
Moin

Die allgemeine Form einer Potenzreihe ist ja:

mit x0 als Entwicklungsstelle.
Angenommen der Term wäre wie folgt:
oder gar:


Wäre dann immernoch x0 die Entwicklungsstelle, oder muß man da was umformen?
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Entwicklungsstelle (Potenzreihe)
Na denn mal los Wink

Definiere






und berechne sowie .

Es kommt hereaus:



bzw.

.


Wären und Potenzreihen mit der Entwicklungsstelle , dann müßte gelten:


und .

Dies ist nicht der Fall und deswegen ist nicht die
Entwicklungsstelle der Potenzreihen und .

Alles klar ?
Herr Dings Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, hab ich soweit verstanden.
Aber wie lauten denn in diesen beiden Fällen die Entwicklungsstellen?
...Steh grad auf'm Schlauch verwirrt :P
Herr Dings Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's jetzt so verstanden, dass dieser Term gleich null sein muß, beim Einsetzen der Entwicklungsstelle.
Also bei z.B.:

müßte dann x0=-16 sein, oder hab ich das falsch verstanden?
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. weiter gehts.

Dein Problem lautet:

Gegeben ist die Potenzreihe



und ein Polynom n-ten Grade mit der Nullstelle .


Du fragst: Ist die Potenzreihe


eine Entwicklung um die Stelle .

Antwort: Im Allgemeinen nein!

Begründung:

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra existiert zu ein Polynom

n-1' ten Grades, so daß gilt:

.

Einsetzen in liefert:

.

Das ist für mich keine Potenzreihenentwicklung um , denn das Polynom ist im Allgemeinen weder konstant noch in der Form darstellbar.

Ich hoffe, dir ist damit geholfen.
Herr Dings Auf diesen Beitrag antworten »

Speziell ist die Aufgabe:
-Konvergenzgebiet folgender Funktion berechnen:

Um die Randpunkte zu berechnen brauch ich den Konvergenzradius und die Entwicklungsstelle. Den Radius hab ich, aber die Entwicklungsstelle fehlt mir halt.
 
 
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt sag das doch gleich !

Ziemlich einfach!! Also:



Damit ist klar: Entwicklungsstelle
Da die Potenzriehe bei n = 8 abbricht konvergiert sie für alle x, d.h. Konvergenzradius .
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