Determinanten berechnen

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14.01.2013, 19:13	Sasu132	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten berechnen Meine Frage: Hey, ich habe diese Aufgabe bestimmt auch 100 verschiedenen Wegen durchgerechnet Aber leider auch mit 100 verschiedenen Ergebnissen. Und irgendwie stimmt das alles nicht! Also hier mal die Aufgabe: Berechne die Determinante $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} x & a & a & (...) & a \\ a & x & a & (...) & a \\ (...) & (...) & (...) & (...) & (...) \\ a & (...) & a & x & a \\ a & (...) & a & a & x \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Hoffe man kann es erkennen. Also eine a x a Matrix mit der Variable x auf der Hauptdiagonalen. Vielen Dank schonmal Viele Grüße und einen schönen Abend Meine Ideen: Wäre euch für Tipps sehr dankbar!
14.01.2013, 19:37	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten berechnen Zieh die zweite Zeile von der ersten ab, was ja die Determinante nicht ändert... Damit erhältst du Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x- a &a-x\\ a & x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ links oben und eine weitere Matrix von der gleichen Form wie die Ausgangsmatrix, aber mit Dimension um 2 kleiner rechts unten... Die weiteren Elemente spielen keine Rolle mehr, du musst nur mehr die Determinanten dieser beiden Matrizen multiplizieren... Edit: Stimmt so noch nicht, es sind noch weitere Umformungen notwendig...
14.01.2013, 19:40	Sasu132	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok also II - I und dann? Den Rest verstehe ich leider noch nicht Könntest du mir das vlt aufschreiben? Und darf ich die restlichen Elemente einfach so weglassen? Und wenn ja wie begründe ich das?
14.01.2013, 19:53	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich oben schon sagte, ist die Sache erheblich komplizierter als oben dargestellt, im Endeffekt läuft es aber auf eine Rekursionbeziehung für Determinanten dieser Gestalt hinaus... Muss mich aber leider jetzt auf den Heimweg machen und kann mich erst später wieder melden...
14.01.2013, 20:00	Sasu132	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schonmal wäre lieb wenn du mir weiterhelfen könntest. Wäre toll, wenn du mir das mit der Rekursionsbeziehung für Determinanten aufschreiben könntest.
14.01.2013, 21:48	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute nun, dass der einfachste Weg so geht, dass man für die fragliche Determinante mit n Zeilen zeigt, dass für das zugehörige normierte Polynom in x vom Grad n dann a eine (n-1)-fache Nullstelle und -(n-1)a eine einfache Nullstelle ist, womit sich dann ihr Wert sofort zu $\begin{eqnarray} (x-a)^{n-1}(x+(n-1)a) \end{eqnarray}$ ergibt...
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14.01.2013, 22:02	Sasu132	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmh aber wie forme ich die matrix um, sodass ich das behaupten kann?!?
14.01.2013, 22:34	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache die Umformungen für eine (4x4)-Matrix, da mit das sonst zu mühsam ist... Der allererste Schritt geht so wie schon oben beschrieben, dann weiter mit Entwicklung nach erster Zeile: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} x &a &a &a\\a &x &a &a\\a &a &x &a\\a &a &a &x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-a &a-x &0 &0\\a &x &a &a\\a &a &x &a\\a &a &a &x \end{vmatrix} = (x-a)\underbrace{\begin{vmatrix} x &a &a\\a &x &a\\a &a &x \end{vmatrix}}_{A_3}-(a-x)\underbrace{\begin{vmatrix} a &a &a\\a &x &a\\a &a &x \end{vmatrix}}_{B_3} \end{eqnarray}$ Die Formeln für $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ lauten: $\begin{eqnarray} A_n=(x-a)^{n-1}(x+(n-1)a), \quad B_n=a(x-a)^{n-1} \quad n \in \mathbb{N}^ \end{eqnarray*}$ Der allgemeine Beweis geht dann mittels Induktion nach n...
14.01.2013, 22:42	Sasu132	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das wäre ja dann der Anfang...jetzt fehlt nur noch der allgemeine Beweis mittels Induktion? Kann ich das eigentlich so wie du das gemacht hast für meine n x n Matrix übernehmen oder passt das dann nicht mehr? bin gerade etwas überfordert hilfe!!!
14.01.2013, 22:59	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ein Tipp noch von meiner Seite, dann sollte auch mal was von dir kommen... Die Formel für die Matrizen $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ oben sieht man allgemein so wie in folgendem Beispiel: $\begin{eqnarray} B_4= \begin{vmatrix}a&a &a &a\\a &x &a &a\\a &a &x &a\\a &a &a &x \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}0 &a-x &0 &0\\a &x &a &a\\a &a &x &a\\a &a &a &x \end{vmatrix} = -(a-x)\underbrace{\begin{vmatrix} a &a &a\\a &x &a\\a &a &x \end{vmatrix}}_{B_3}=(x-a)B_3=(x-a)^2B_2=(x-a)^3\underbrace{B_1}_{=a}=a(x-a)^3 \end{eqnarray}$

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