Wert einer Potenzreihe

14.01.2013, 21:10

FreshMilk

Wert einer Potenzreihe

Ich soll den konvergenzradius und den Wert der Reihe an der Stelle z=1 bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{2^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$

Den Konvergenzradius hab ich noch geschafft. Da habe ich raus, dass die Reihe überall konvergent ist.

Nur wie bestimme ich den Wert dieser Potenzreihe ?
Kann mir da jemand weiterhelfen ?

14.01.2013, 21:14

Iorek

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Sieh dir einmal die Potenzreihendarstellung der e-Funktion an.

14.01.2013, 21:30

FreshMilk

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Habe ich gemacht. Die Reihe sieht dieser ziemlich änlich.

14.01.2013, 21:39

HAL 9000

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Forme das Reihenglied $\begin{eqnarray*} \frac{z^{2n}}{2^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$ doch mit Hilfe der Potenzgesetze soweit um, dass aus "ziemlich ähnlich" deutlich mehr wird. Augenzwinkern

14.01.2013, 21:46

FreshMilch

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Also meinst du das in etwa so ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{2^n\cdot n!} = \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z^{n}}{n!}\cdot \frac{z^n}{2^n}) \end{eqnarray*}$

14.01.2013, 21:55

Iorek

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Das bringt dich nur bedingt weiter. Du willst auf etwas der Form $\begin{eqnarray*} e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ kommen.

14.01.2013, 22:01

FreshMilch

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Naja ich dachte weil, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{2^n\cdot n!} = \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z^{n}}{n!}\cdot \frac{z^n}{2^n}) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Könnte ich dann nicht sagen, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{2^n\cdot n!} = \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z^{n}}{n!}\cdot \frac{z^n}{2^n}) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^n} =e^z \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

und wegen z=1 folg dann

$\begin{eqnarray*} =e^1 \cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} =e^1 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}} =2e \end{eqnarray*}$

Geht das so ??

14.01.2013, 22:08

max_doering

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Du kannst eine Reihe so nicht in Faktoren aufspalten! (2*3)+(4*5) ist ja auch nicht (2+4)*(3+5)

14.01.2013, 22:09

max_doering

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Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1^2}{2}} \end{eqnarray*}$ , falls dir das hilft!?

14.01.2013, 22:11

Iorek

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Zitat:

Original von FreshMilch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z^{n}}{n!}\cdot \frac{z^n}{2^n}) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!}\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Nein, bitte so etwas nie machen! Das gilt nicht mal für endlich viele Summanden, $\begin{eqnarray*} 20=1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 \neq (1+2+3)\cdot (2+3+4)=54 \end{eqnarray*}$ .

So etwas ist auch gar nicht nötig, nimm dir die Potenzgesetze nochmal zur Hand und bring die Reihe auf die gewünschte Form (wie muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit es passt?).

14.01.2013, 22:24

FreshMilch

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Ehm wieso x ?

Also irgendwie bin ich grade etwas verwirrt.

14.01.2013, 22:26

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Das bringt dich nur bedingt weiter. Du willst auf etwas der Form $\begin{eqnarray*} e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ kommen.

Alternativ kannst du auch gerne schreiben $\begin{eqnarray*} e^z=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^a=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {a^n}{n!} \end{eqnarray*}$ oder...

14.01.2013, 22:37

FreshMilch

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Also was mich nur verwirrt ich dachte z soll soweieso = 1 sein ?

Und die 2^n müsste ich dann ja auch wegbekommen.

14.01.2013, 22:39

Iorek

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Ja, z=1 solltest du einsetzen, aber dann hast du noch immer nicht die gewünschte Form. Dafür benötigst du noch elementare Bruchrechnung und eben die Potenzgesetze...

14.01.2013, 22:54

FreshMilch

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Ich weiss leider nicht wo das hinführen soll.

Wenn ich was für z einsetze dann erscheint das ja im Zähler.

$\begin{eqnarray*} e^{2z}:=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(2z)^n}{n!\cdot 2^n} =\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*}$

14.01.2013, 23:16

Iorek

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Jedes Gleichheitszeichen in deinem letzten Beitrag ist falsch.

Damit das hier mal ein klein wenig vorwärts kommt: eine Anwendung der Bruchrechenregeln gibt dir $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1{2^n\cdot n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1{2^n}\cdot \frac 1{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac {\frac 1{2^n}}{n!} \end{eqnarray*}$ . Damit solltest du jetzt den letzten verbleibenden Schritt alleine schaffen.

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