Standardnormalverteilung Tabelle

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14.01.2013, 22:13	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardnormalverteilung Tabelle Meine Frage: Moin Zusammen, Ich habe eine kleine Frage und zwar stehe ich vor Folgendem Problem: X sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie, wenn nötig mit Hilfe der Tabelle am Schluss, näherungsweise die jeweils unbekannte Intervallgrenze a, sodass gilt: zB: $\begin{eqnarray} p( x \geq a)=0.8 \end{eqnarray}$ = 0.80 oder als zweites Beispiel: $\begin{eqnarray} p(x \leq a) = 0.5 \end{eqnarray}$ Das ganze soll ich mit der Tabelle für die Standard-Normalverteilung lösen, nur habe ich irgendwie NULL Ansatz, was ich da machen muss. Mir fehlt irgendwie ne Anleitung wie ich da auf dieses a komme. Meine Ideen: Ich habe NULL Ansätze, das ganze verwirrt mich nur, nicht mehr und nicht weniger ^^
15.01.2013, 04:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, so wie ich das sehe musst du nur in der Standardnormalverteilungstabelle die Werte ablesen. Bei dieser Tabelle ist die Variablenbezeichnung für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable z. In der Tabelle sind die kummulierten Wahrscheinlichkeiten eingetragen. Also $\begin{eqnarray} P( z \leq a)=\Phi(z) \end{eqnarray}$ Wenn du also $\begin{eqnarray} P( z \leq a) \end{eqnarray}$ herausfinden willst, dann schaust du in der Tabelle wo die kummulierte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \approx P \end{eqnarray}$ ist. Der Zeilenwert ist dann die 0 und die erste Nachkommastelle von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Der Spaltenwert ist die zweite Nachkommastelle von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Des Weiteren gilt: $\begin{eqnarray} P(z \geq a)=1-P(z \leq a) \end{eqnarray}$ Grüße.
15.01.2013, 07:37	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso ist es. Ich muss "einfach" nur in der Tabelle nachschauen. Jedoch stimmen dann meine gefundenen Werte nicht mit der (leider nicht kommentierten) Lösung überein. beim Beispiel mit $\begin{eqnarray} p(x >= a)=0.8 \end{eqnarray}$ sollte die Lösung -0.84 sein und beim anderen Beispiel sollte die Lösung 0 sein. Und bei beiden Werten weiss ich nicht, wie ich diese in der Tabelle finde.
15.01.2013, 08:15	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe sonst noch ein anderes Beispiel, welches mein Problem erhöht. zB wenn ich p(-0.22 <= X <= a) = 0.413 habe. Dann komme ich mit der Tabelle schon gar nicht mehr hin, weil ich keine Ahnung habe, wie ich dieses -0.22 hinzunehmen muss...
15.01.2013, 09:09	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p( x \geq a)=1-p( x \leq a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p( x \geq a)=1-\Phi(z)=0.8 \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} \Phi(-z)=1-\Phi(z)=0,8 \end{eqnarray}$ Da du bei 0,8 einen z-Wert von 0,84 erhälst, ist -z dann -0,84. Das andere geht genauso: $\begin{eqnarray} \Phi(-0,22)=1-\Phi(0,22)=0,4129 \end{eqnarray}$ Edit: Vielleicht noch ein Hinweis: Das ist jetzt für $\begin{eqnarray} P(x \leq -0,22) \end{eqnarray}$ . Wenn du $\begin{eqnarray} P( x \geq -0,22) \end{eqnarray}$ berechnen willst, musst du wiederum mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen. Somit ist $\begin{eqnarray} P(x \geq -0,22)=1-(1-\Phi(0,22))=\Phi(0,22) \end{eqnarray}$ Grüße.
15.01.2013, 12:56	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, das leuchtet mir nun soweit ein. Nun noch eine kleine Abschlussfrage. Wenn ich wieder das Beispiel: $\begin{eqnarray} p(x \ge a) = 0.80 \end{eqnarray}$ habe. Kann ich dies dann in die Form: $\begin{eqnarray} p(\mu- z\sigma \le X \le \mu+ z\sigma) \end{eqnarray}$ bringen?
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15.01.2013, 17:09	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach mal bitte genauer Angaben: 1. In welchem Zusammenhang willst du dieses Intervall aufstellen? 2. Welche Größen sind bekannt? Folgende Ausführungen sind deshalb mit Vorsicht zu genießen: Man könnte unter Umständen folgendes schreiben: $\begin{eqnarray} P(\underbrace{\mu - z_{0,8} \cdot \sigma}_{=a} \leq X)=0,8 \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} \sigma \neq 1 \end{eqnarray}$ und/oder $\begin{eqnarray} \mu \neq 0 \end{eqnarray}$ , dann handelt es sich mehr um eine Standardnormalverteilung. X ist dann nur noch normalverteilt. Somit müsste mindestens zwei der drei Größen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bekannt sein, um eine der fehlenden Größen zu ermittlen. $\begin{eqnarray} z_{0,8} \end{eqnarray}$ kann man wieder in der Tabelle der Standardnormalverteilung nachschauen. Grüße.
15.01.2013, 17:18	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ich möchte dieses Intervall aufstellen, weil ich erfahren habe, dass wir an der kommenden Prüfung nur die Sigma Umgebungs Tabelle (siehe Bild) http://lernportal.ziemke-koeln.de/mathematik/gk13/tabellen/tab_sigma.jpg zur Verfügung habe und um in dieser Tabelle nachzuschlagen muss ich es ja umformen oder? 2. Es ist vorgegeben, dass $\begin{eqnarray} \mu = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma = 1 \end{eqnarray}$ ist.
15.01.2013, 20:00	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke nicht, dass immer $\begin{eqnarray} \sigma=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu = 0 \end{eqnarray}$ ist. Die Tabelle ist ja für belibige $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ anwendbar. 1. Ist es nicht vielleicht doch die Standardnormalverteilungstabelle? Schau mal hier (Klick) und vergleiche die Werte. 2. Eine Beispielaufgabe wäre nicht schlecht. Da kann man dann konkret sehen, wie welche Tabelle anzuwenden ist.
15.01.2013, 21:17	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein es ist leider die Tabelle, welche ich im Bild gepostet habe, die wir als Anhang benutzen dürfen. Und die Beispiele sind eben die oben. Ich kann Grundsätzlich mit dieser Tabelle schon umgehen, aber eben, hier komme ich gar nicht weiter, weil ich bevor ich ablesen kann, ja irgendwie den "Term" umformen muss in die andere Form. Und wie dies gehen soll finde ich eben weder bei mir im Skript noch in den weiten des WWW. p.s mit Vorgegeben meine ich in den beiden Beispielen oben.
16.01.2013, 08:40	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten morgen, mit deiner Tabelle kannst du $\begin{eqnarray} P(x \geq z)=P(x \geq 0,22) \end{eqnarray}$ folgendermaßen bestimmen: Deine Tabelle deckt die rote Fläche ab. Da z > 0, willst du die rechte gelbe Fläche bestimmen. Die ist $\begin{eqnarray} 0,5 \cdot (1-P(-z \leq x \leq z)) \end{eqnarray}$ Also die ganze Fläche minus der roten Fläche ergibt die beiden gelben Flächen. Da du nur die rechte gelbe Fläche haben willst, teilst du das ganze noch durch 2. Jetzt schaust du in deiner Tabelle nach was für eine Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(-0.22 \leq x \leq 0.22) \end{eqnarray}$ ergibt. Das ergibt ein P von 0,174. Somit ist $\begin{eqnarray} P(x \geq 0,22)=0,5 \cdot (1-0,174)=0,413 \end{eqnarray}$ Jetzt zum Fall, bei dem man z bestimmt: $\begin{eqnarray} P(x \geq z)=0,8 \end{eqnarray}$ Die 0,8 repräsentieren die rote Fläche und die rechte gelbe Fläche. Somit ist aber die linke gelbe Fläche = 0,2 und damit die beiden gelben Flächen zusammen gleich 0,4. Die beiden gelben Flächen ergeben sich aus $\begin{eqnarray} 1-\textrm{roter Flaeche} \end{eqnarray}$ . Die Gleichung die daraus folgt: $\begin{eqnarray} 0,4=1-P(-z \leq x \leq z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -0,6=-P(-z \leq x \leq z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0,6=P(-z \leq x \leq z) \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du wieder in deiner Tabelle nachschauen, für welches z P den Wert 0,6 annimmt. Grüße.
16.01.2013, 08:44	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Danke, Danke! Mit dieser Anleitung kann ich sehr sehr viel anfangen! Perfekt! Jetzt muss ich es nur noch X-mal anwenden, dass ich es verinnerliche und gut ist =)
16.01.2013, 08:48	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Freut mich, dass es doch so verständlich ist. Grüße.
16.01.2013, 09:11	Blackmore	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es definitiv. Ich hatte nur keine "Anleitung" und dadurch keinen Ansatzpunkt wie beginnen.
16.01.2013, 09:24	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt freue ich mich nochmal.

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