Bestimmen sie denjenigen Punkt des Drachen für den die Summe seiner Entferungen zu den Ecken minimal

15.01.2013, 11:20

LilaBlume

Bestimmen sie denjenigen Punkt des Drachen für den die Summe seiner Entferungen zu den Ecken minimal

Meine Frage:
Bestimmen sie denjenigen Punkt des Drachen für den die Summe seiner Entferungen zu den Ecken minimal ist

Meine Ideen:
Hallo zusammen!

da der Drachen symentrisch ist (jeder Drache)ist doch die Summe der Entferungen(egal welchen punkt ich mir im Drachen aussuche) immer gleich?

15.01.2013, 11:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von LilaBlume
da der Drachen symentrisch ist (jeder Drache)ist doch die Summe der Entferungen(egal welchen punkt ich mir im Drachen aussuche) immer gleich?

Nein.

Übrigens kann man die Aufgabe auch gleich für beliebige konvexe Vierecke stellen - sie ist leichter zu beantworten als für Dreiecke. Augenzwinkern

15.01.2013, 14:17

Lilablume

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ok danke..

wie muss ich bei der aufgabe dann ansetzten?

15.01.2013, 14:53

HAL 9000

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Es geht um die Minimierung der Summe

$\begin{eqnarray*} f(P) = |PA| + |PB| + |PC| + |PD| \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ die vier Eckpunkte des Drachenvierecks (bzw. allgemeiner des konvexen Vierecks) sind, und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der variable Punkt im Inneren. Dazu ein Tipp:

[attach]27854[/attach]

Nach Dreiecksungleichung gilt

$\begin{eqnarray*} |PA| + |PC| \geq |AC| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |PB| + |PD| \geq |BD| \end{eqnarray*}$ .

15.01.2013, 16:12

LilaBlume

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Ok hab das mal versucht..

Nach Dreiecksungleichung gilt

$\begin{eqnarray*} |PA| + |PC| \geq |AC| |PB| + |PD| \geq |BD| Beweis: es gilt: A \leq |PA| und C \leq |PC| \Rightarrow |AC| \leq |PA| |PC| und - A \leq |PA| und - C \leq |PC| \Rightarrow - A + \left(- C\right) = - \left(AC\right) = \leq |PA| + |PC| \end{eqnarray*}$

und das selbe noch für PB + PD

ist das richtig? oder fehlt da noch was?

15.01.2013, 16:39

HAL 9000

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Eigentlich war mein Tipp dafür gedacht, bei der Lösungsfindung zu helfen, zu "beweisen" gibt's da nix, das ist Geometrie-Grundwissen.

Wenn ich mir dann aber diesen deinen "Beweis" ansehe, dann packt mich nur das kalte Entsetzen. Weißt du auch nur ein bisschen, was du da tust, oder hast du nur mal die Symbole wild durcheinandergeworfen und wieder zufallig zusammengesetzt? unglücklich

Also gut, eine Erklärung der Geometrie-Standardsymbole: $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ kennzeichnet die Verbindungsstrecke der Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als Punktmenge, und $\begin{eqnarray*} |AB| \end{eqnarray*}$ ist dann deren Länge, d.h. eine positive reelle Zahl. Bisweilen wir diese Länge auch mit $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

15.01.2013, 19:21

riwe

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eigentlich kann man das problem nicht schöner als HAL 9000 erklären und erledigen.
noch dazu mit diesem tipp und dem dicken punkt S Augenzwinkern

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Bestimmen sie denjenigen Punkt des Drachen für den die Summe seiner Entferungen zu den Ecken minimal

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